は、nが素数のときのみ体になる。これは整数論で有用だ。これを一般化しよう。今回の主定理 :環, :イデアルとする。このとき、 は極大イデアル剰余環は体。まず次の補題を示す。 補題 環が体のイデアルはと自身のみである。 証明 まず、が体であるとする。を…

整数環におけるmodと同じことを、任意の環でも考えることができる。１：剰余環の定義 :環, :イデアル に同値関係 を、 で定める。これが同値関係であることは、 , ならば, ならば から分かる。 また、,のとき、 より, よりだから、 商集合 の同値類に演算を …

A:環 定義(準素イデアル) イデアルが、条件： を満たすとき、は準素イデアルであるという。例1 (pは素数) とするとこれは準素イデアル。 証明：とする。 より、あるがあって 背理法で示す。任意の自然数mでだとする。 がpの倍数なら、となってしまうから、は…

前回： 【コラッツ予想】Eliahou の log3/log2 による考察 - 数学大好き宣言！前の記事で紹介した結果： Eliahouは1993年の論文で、サイクルの最小値が を超えるならば、周期の長さ が となることを示した。ここでは非負整数で、 かつ である。 これを示すの…

Wikipedia のコラッツ予想のページにこんな記述がある： Eliahouは1993年の論文で、サイクルの最小値が 2^40 を超えるならば、周期の長さ p が となることを示した。ここでは非負整数で、 かつ である。この結果は、の 連分数展開と関連している。 連分数と…

, とする。 などを縮めて文字列で などと書き、 これを「fとgからなる文字列がxに作用している」と見なす。 fとgからなる有限の文字列全体の集合を とおく。 に対して、 をの長さ、をに含まれるfの個数、をに含まれるgの個数とする。 さて、 だから、 .自然…

p進整数環の基礎知識については以下にまとまっている。 https://mathematics-pdf.com/pdf/p_adic_field.pdfp進整数環においてmodを考える。 定義 に対して、 を で定義する。 定理 (1)ならば (2)fを係数多項式とすると、 証明： (1) (2)加法と乗法を保つから…

特定の線形微分方程式の解空間の次元に、ディオファントス方程式の整数解の個数が現れてくる話。 (λは定数)を、周期的境界条件のもと解こう。 周期関数だから、fをフーリエ級数展開して とおき、両辺に代入すると 係数を比較して よってまたは の解は有限個…

の部分分数分解はよく知られていて である。 これをbで偏微分してみる。(これはa,b,xの恒等式だから、bで微分しても両辺は等しい) 積の微分公式を使うと の部分分数分解が得られた。 同様に、 の両辺をaでm-1回、bでn-1回偏微分すれば、 の部分分数分解が得…

p進解析(1)冪級数の収束半径 - 数学大好き宣言！ p進解析(2)冪級数の原点での連続性 - 数学大好き宣言！pを素数、をp進数列とする。 冪級数 は (vはある整数)のとき収束するとし、 を で定める。 このとき、次が成り立つ。 定理（一致の定理）：点 が の零点…

漸化式の極限を調べるとき、固定点に当たりをつけるのは常套手段だが、どんなとき固定点に収束するのだろうか。 今日の定理は、その点での微分が1より小さい固定点なら、近くの点を自分に収束させるというものだ。 を領域とする。 を複素関数とし、はfの固定…

p進解析(2)冪級数の原点での連続性 - 数学大好き宣言！ p進解析(3)一致の定理 - 数学大好き宣言！pを素数とする。p進数体上で、和(a_nはp進数列) の極限(点列と見て極限を取る)を考えよう。 定理:が収束⇔がn→∞で0に収束 証明： (⇒の証明)が収束 ⇔がコーシー…

充填ジュリア集合やマンデルブロ集合の描画では、条件「|z|が2か|c|を越えれば、fⁿ(z)は発散」があったために、点の発散を確定することができ、発散する点については有限回の計算で終わらせることができた。高次多項式の力学系に於いても、同じような境界を…

示したいこと：a>1が自然数のとき、 高次元の曲線の積分が、πの円分数倍になるのが不思議。＜証明＞ ベータ関数とは で定義される関数である。 を求める。 と置換積分する。のとき で、 だから、 一方、 だから、ガンマ関数の相反公式より、 よって、 結局、…

ガウス積分とはのこと。 これはとも書ける。 この一般化としてを求めよう。 とおくと、 よって 既におもしろいが、さらにこれを代数関数の積分を使って表示する。 (n変数) ただしBは多変数ベータ関数。 多変数ベータ関数の積分表示(フェルマー多様体の積分の…

フェルマー多様体とは、m,nを自然数として という代数多様体のこと。n=2のときこれはフェルマー曲線 となる。 m=2のときこれは超球面 となる。 多変数ベータ関数とは (ただし) のこと。 と変数変換する。 積分範囲は変化せず、 , i≠jのとき だから、ヤコビア…

(, ) について(1)無限積表示(2)多変数ベータ関数の比による表示を導く。(1)ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限積表示とは、 のこと。ただしγはオイラーの定数。 ※この積は絶対収束する。つまり積の順序交換ができる。 のとき、 ワイエルシュトラスの無限…

nを自然数とする。多変数ベータ関数とは (ただし) これは通常のベータ関数同様、次のガンマ関数による表示をもつ： 証明) ここで変数変換をする。 ,ただし 。 また、 とおく。 , とおく.ΦはDからEへの関数で、Φは一対一対応であることを示す。 のとき、定義…

主定理：m,nが自然数で、n≠1のとき、 ベータ関数を使って示す。 ベータ関数とは で定義される関数である。 , とする。 と置換積分する。のとき で、 だから、 ガンマ関数との関係式より、 (とより) ここでガンマ関数の無限乗積表示より(ガンマ関数の積の比の…

ベータ関数とは で定義される関数。 この記事では、 ベータ関数の無限乗積表示： を示す。ベータ関数はガンマ関数と次のような関係がある： こちらのサイト様で証明が読める：ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 | 数学の景色さて、ガンマ関数には次…

rを自然数とする。, 各成分の実部は正とする。またx∊ℂとする。 このとき級数 はt∊(0,∞) で絶対収束する。 これをメリン変換して ただしζはバーンズの多重ゼータ関数と呼ばれる関数。 さて、F(t)はより変形できる。 , とすると、 これで、綺麗な積分表示が得…

f(x)=e^x とおくと、これは指数定理f(x+y)=f(x)f(y)を満たす。ここから微分方程式を導こう。 両辺をxで微分して、 f'(x+y)=f'(x)f(y). 両辺をyで微分して、 f'(x+y)=f(x)f'(y). よってf'(x)f(y)=f(x)f'(y). y=0を代入して f(0)f'(x) = f'(0)f(x). e^0=1 とf'…

f(x)=x^2 - x + 1 として、f^2(x)=f(f(x)), f^3(x)=f(f(f(x))), ... を計算してみる。 f^2(x)=x^4 - 2*x^3 + 2*x^2 - x + 1 f^3(x)=x^8 - 4*x^7 + 8*x^6 - 10*x^5 + 9*x^4 - 6*x^3 + 3*x^2 - x + 1 f^4(x)=x^16 - 8*x^15 + 32*x^14 - 84*x^13 + 162*x^12 - 2…

フェルマーのクリスマス定理とは 「pが素数のとき p≢3 (mod 4) ⇔ x²+y²=p が整数解をもつ」 という定理のこと。ところで、次の定理が知られている： 定理(1798,ルジャンドル) nが自然数のとき n=4ᵏ(8m+7) (k,mは非負整数) ⇔ x²+y²+z²=n が整数解をもたないこ…

突然だが、実代数的数の近似に関して、次のような定理がある。 定理(トゥエの定理) αをｎ次の実代数的数(nはもちろん2以上)、κ＞n/2 + 1 とする。このとき、αとκで決まる正定数cが存在して、 がすべての有理数p/q に対して成り立つ。 ※これは近似しにくさを…

不思議な計算がある。 (n桁), (n+1桁) とおくと、 となっているようだ。三角関数の加法定理にそっくりだ！これは、 となっていることに着目すると、 次の定理を使って示せる： 定理 とおくと、 証明： 復号の上側が, 下側が だから、和をとって .□ これに, ,…

まずは次の定理を示す。 fを整係数多項式、pを素数、a,tを整数、kを自然数とすると、 (証明) 多項式のテイラー展開より、ある整係数多項式g(x,y)が存在して、 あとはx=a, y=tpᵏ を代入すれば よって例えば 繰り返し適用して、任意の自然数nに対して aが法pᵏ…

pを素数とする。 この記事では、a≡b でa≡b(mod p) を表すこととする。 (定理)a,bを自然数、a＞bとする。次が成り立つ。 ただし、 は二項係数 (と同じ)。証明: ここで、 だから、 α≢0 のとき、 また、 よって.

pを素数とする。 (定理1)a≡b (mod pⁿ) のとき、aᵖ≡bᵖ (mod pⁿ⁺¹) 証明: a=b+tpⁿ と書けるから、 aᵖ=(b+tpⁿ)ᵖ=bᵖ + pbᵖ⁻¹(tpⁿ) + ₚC₂bᵖ⁻²(tpⁿ)² + ・・・ ≡bᵖ (mod pⁿ⁺¹)繰り返し適用してみよう。 のとき、 よって よって よって (定理2)のとき、 任意の自然…

ｐ進数の世界でも、連分数を考えることができる！(収束する！) pを奇素数とする。 f(x)=x²-2x-p とおく。 f(x)=x(x-2)-p だから、f(0)≡0(mod p), f(2)≡0(mod p). また, f'(x)=2x-2 であり、f'(0)=-2≢0(mod p), f'(2)=2≢0(mod p). (pは奇素数より) よってヘン…