数学大好き宣言!

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

数論とガロア表現の関係を勉強中

7/12 巷の数学の啓蒙書にはよく、「楕円曲線ゼータ関数」が出てくる。それは有限体上の楕円曲線の話で定義されている。しかし、最近知った話によると、これは「ガロア群の表現のゼータ関数」として理解されるらしい。これと同様のことはいくつか起きて、「数論の問題が解ける=ガロア群がわかる」と理解されるらしい。最近アフィンスキームの勉強をして、「曲線を有限体で解く」というのは「体の拡大での素イデアルの分解を考える」というのと似ていることを知った。このような橋架けをもっと進めたい。そこでこの内容を勉強する。以下勉強メモ。

ガロア表現のゼータ関数アルティンL関数のほうが通じるようだ)の定義:

有理数体の拡大を考えるとき、

 \displaystyle \zeta_{\mathbb Q}(s,\rho)= \prod_{p:素数} {\rm det}(1- \rho({\rm Frob}_p )p^{-s})^{-1}

 \rhoが有限次元表現。Frob_pはフロベニウス元で、 p元体{\mathbb F}_pの有限次拡大 {\mathbb F}_qにおけるp乗作用素のQ上の持ち上げとなるもの。

ρは表現で、定義域はガロア群。フロベニウスは有限体の拡大体のガロア群の作用になるから、それを有理数での作用に持ち上げてガロア群の元と考えるってことか。これってきちんと定まるんだろうか。フロベニウスに慣れてないのでよくわからない。

この定義の、1つ1つのpの因子を抜き出したものは、有限体のゼータ関数。この1つ1つの因子ならわかるのになあ。そのときは単に、有限体の拡大のガロア群(生成元がフロベニウス自己同型のはず)の表現を考えればいいから。

やはりまだ自分には早いなあ。他にも勉強したいことがあるしそちらからやってみよう。