数学大好き宣言!

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

数体について考えたことメモ

例はたくさん知っているほどよい武器になる。知っている体を増やしたい。今回は有限体F_pの有理関数体を考えたい。これの拡大と自己同型までやりたい。有理関数体は文字通り、Fp係数多項式の商で、分母が零でないもの。さあ拡大を考えよう。基礎体を拡大すべき?それとも√xとかを扱う?Fp拡大しても、わざわざ有理関数体で扱わなくていい議論になるだろう。√xとか系で。つまりこの体が係数の多項式方程式の解を考えよう。X^2-(式)=0から始めよう。p=2だと重根確定になってしまうので、p=3でいってみよう。まずシンプルに√xを試す。√xを添加したときの自己同型を考える。いつもの議論で、解を解にうつすということはわかる。あとは√xをー√xにうつす写像が自己同型か見るだけ。そこまでやる前に、この拡大体の元の表示を得たい。ℚ(√2)の、a+b√2のような。普通に、有理式f,gでf+g√xではなかろうか。この形をした数全体が体をなすのはわかる。分母の有理化もできる。こういうときどう考えるんだっけか。ℚの拡大のときの方法:添加だから、任意の元は添加したαのℚ係数有理式で表せる(これは1意とは限らない)。ここに関係式(方程式)を適用して次数を減らしていき、有理化するという手順。今回も全く同じ手順でf+g√xで表せることがわかる。一意性を言わないと。f+g√x=0⇒f=0かつg=0を言えばok.移項して両辺2乗して分母分子の次数の矛盾で終わり(奇数次と偶数次)。√2が無理数だと示すのの類似だな。勉強しててよかった。ここまで来れば√x→-√xが自己同型なのも、計算よりわかる。何もかも類似だ。似すぎて、もしや例にとるメリットも少ないのではと思えてきた。気がかりなのは、標数をほとんど(全くでした!!)使っていないこと。やはり何か大きな見落としがあるのだろうか。不安だが確かめようがない。