７/１８メモ

・類体論がわかりかけてきたかもしれない。

・円分体はただℚの最大アーベル拡大というだけでなく、各ｎ等分体がray class fieldといういい性質の体。

・類体論は、ray class fieldの存在定理を含む。

・ちなみに、リーマン面と一変数関数体に類似がある。

・ray class groupという、基礎体のイデアルに対応する群があり、ガロア群とそれが同型になる拡大体がray class field.

・体の任意のアーベル拡大体はray class fieldに含まれ、ガロア群がわかる。どのイデアルのray class fieldに含まれるかで素イデアルの分岐が分かる。

・アルティン写像が同型を与えるが、逆にアルティン写像を用いてray class fieldの定義もできる。

・おもしろいと思ったのは、円分体によりしっかりした良い意味が与えられたこと、それが、なぜｎ等分を考えるのか（なぜ整数１つ１つに対応して体があるのか）に解答を与えるものだったこと、ノルムや分岐不分岐と関係があったこと（ガウス和、二次体の円分体での表示に関係がありそうで、そういうことかと分かった気がした）。

・他の体の円分での表示を得たい。三乗根とか。同型を使えば求められるか？

・記事的にもおいしい。書けることがたっぷり。

・最初に類体論の定理を見たときは、無味乾燥に感じたが、いろいろ考えるうちにとても神秘的で豊かな理論だと感じられたのでよかった。今まで見てきたものの解釈も与えるようでおもしろい。

・やっぱり円分方程式の理論はたのしいなあ。大好きな有限体もたくさん出てくるし。

・虚数乗法の拡大の話を振り返りたい。気付くことがあるかも。

・Dedekindの判別定理は強いな。類体論にも有用に見える。

・Eisenstein多項式をやろう。

・𝔭、𝕻などのフラクトゥーアを辞書登録した。正直tex打ちは苦手なのでこれはうれしい。イデアルをビビらずに書ける。𝔖なんかも。置換群はこれで書いてみようか。

・三乗根を円分体で実現する方法が全くわからない。類体論の定理を使えばいける気がするけど、大道具すぎてなんだかいやだなあ。虚二次体で平方根の類似をやるのが先か。虚二次体の剰余体の平方剰余を探究することになるかな。

・平方剰余の相互法則とは結局何者なんだろう。円分体から証明できるそうだが、関連性がわからない。平方剰余の重要性はわかる、しかし相互法則は要るのか？

・別のアプローチで平方根を得ようとすると、相互法則関連の定理が出る気がする。

・イデアルが殆どわかってないことに気付く。

・ｐ進整数環のイデアルは、零、ℤｐそのものと（ｐ）のべき乗だけだろうか。

・イデアルの定義：部分集合で、集合内での加法と、環の任意の元での乗法で閉じているもの。線形結合を考えよ。

・ℤｐのイデアルをＩとする。Ｉの中で、ｐで割り切れる回数が最小のものaをもってくる。これをｐで最大までわりきったものに、逆元はあるだろうか。あるなら、Ｉにはa×その逆元　が含まれることになるので、それってｐ＾ｎなのでＩも（ｐ＾ｎ）になる。

・ｐ進展開による定義でわかるな。一次方程式を𝔽ｐで解き続ければいい。逆元はある。

・ℤｐでの素イデアル分解はわかった。拡大したらどうか。なんか定理があったはず。