8/8メモ
ゾロ目の日だ。
・「基本群とラプラシアン」というpdfを見つけた。勝手に予測変換に出てきたんだが、おもしろそう。ゼータ関数と作用素がどうとかの話らしい。あのおもしろそうなセルバーグゼータが出てくる。
・グラフの正則関数の話と、リーマン面が代数的整数の類似でどうのこうのの話を進めたいな。
・基本群がとても簡単な群（自明群じゃない！！）になる位相空間ってあるのかな。絶対ガロア群が簡素な体を考えようとしたら無理だったから考えてみている。
・wikipediaより：すべての群は、2 次元（もしくはより高次元の）連結なCW複体として実現することができる。上記で注意したように、自由群でさえ、1-次元のCW複体の基本群として現れる（つまりグラフである）。すべての有限表示された群は、4 次元（もしくは、それ以上の高次元の）コンパクトな連結微分可能多様体の基本群として実現できる。しかし、低次元の多様体の基本群として実現されるには、厳しい制限がある。例えば、ランク 4 もしくはそれ以上の自由アーベル群は、次元が 3 以下の多様体の基本群としては実現できない。
・cw複体ってなんだ。
・ブーケの基本群は自由群。群準同型は空間の連続写像を誘導するとかなんとか。こうやって自由群に関係式を入れて群を作れないか？任意までは行ってない？被覆の復習やったらわかりそうな予感。
・たとえばℤの、２だけが分岐する拡大があったとして、ℤに分母に２の冪を許した環の拡大は不分岐になるんだろうか。そしたら最大不分岐拡大は自明でなくなるのだろうか。
・最大不分岐アーベル拡大のガロア群と、イデアル類群は同型。これっていつでも成り立つっけ。
・局所環の拡大、判別式？は定義できる？必ずｐ冪になる？不分岐拡大って存在しない？そんなはずは。
・無知だな～。何もわかってないな・・・。言葉知ってるぶん勉強はできるのでいいか。
・素数を取り除くとか１つ２つから始めるって考え方を学べたのは大きい。こんっっっなに簡単な操作なのになんで自分では考えてみなかったんだろ？
・ℤ[1/2]みたいなの
・基本群が{1,-1}となる例？数直線Ｒに同値関係～を、x~y:⇐⇒|x|=|y|として入れて、Ｒ/~で商位相空間を考える。被覆のときのイメージで、変換群と基本領域の話だってことかと考えた。
・これがもし合ってたら他にもいろいろ考えられるな。
・このように被覆にもちこむなら、シートの数の一意性があるから、固定点のある写像ではだめだ。－１倍や1/xのようなね。
・楕円関数について考えてるときは、だいたい竹内端三を読む。やっぱり、ある程度のことがまとまって載ってる教科書って便利だな。
・複素数の楕円曲線と、楕円関数の周期平行四辺形の対応がわからない。どこがどこに対応？
・楕円積分が、曲線→平行四辺形の対応を与えるかな。
・積分は、曲線上の関数というより曲線上の「道」のホモトピー同値類の関数かな。おー位相幾何と被覆おもしろい。
・複素解析では、被覆は微分方程式などで実現する。グラフ調和関数や簡単な位相空間上なら、積分はよりシンプルな操作にとってかわられるのだろうか。一意化全般は？
・リーマン面の基本群と一意化の問題は難しいけど、簡単な類似をつくって考察できれば簡単かも。
・アイゼンシュタイン級数なども簡単な類似物をつくれるなら、世界がほんとに広がるなあ。
・メリン変換を知った。指数関数のメリン変換はΓ関数だとか、冪級数で変数を指数関数に置き換えたのをメリン変換するとディリクレ級数になるとか。項別積分をすれば分かるか。三角関数のメリン変換でゼータの関数等式が導かれる？らしい。すごい。
・スキームの貼り合わせってなんだ。グラフをペタペタ簡単に繋げられるように、スキームもどんどんいじれるんだろうか。
・ℤのアフィンスキームだって、点を取り除いたり、付け足したり、部分空間を考えてあれこれとかできる。そういう操作が切り貼りとかに繋がっていくのでは？
・周期と曲線の対応は、sinの例で見ると簡単。arcsin(楕円積分に対応)は[-1,1]→ℝの関数ともいえるが、まず円の上下を考慮して{a,b}(要素２個の集合)×[-1,1]上の関数、多価を考慮してℤ×{a,b}×[-1,1]→ℝと見るべき。これはさっきのホモトピーの話の類似だ。しかしarcsinの逆：sinはただのℝ→[-1,1]と見てしまうこともできると。これも℘と同じ。
・圏論を食わず嫌いするのはやめようかな。位相幾何にはよく出てくるみたいだ。
・数論的位相幾何学入門というpdfを見つけた。数論と結び目理論の類似がのっているだけでなく、電磁気学との類似（類体論に電磁双対性？が対応）も書かれている。すごい。こんなに類似があったのか。素数と素な結び目も、ただ似てるねでなくて、対象や概念の対応をこまかく書いてある。ただ似てるだけかと思っていたので衝撃。
