バーゼル問題の楕円関数類似 - 数学大好き宣言！

※8/13 重大な間違いがありました！！それにより答えが16倍ずれていました。訂正しました。

バーゼル問題： $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (ゼータ関数の特殊値)を一般化する。

$y^2=4x^3-ax-b$ を虚数乗法をもつ楕円曲線とし、右辺＝０の根を $e_1,e_2,e_3$ とする。３点が一直線上にある場合は、 $e_1,e_2,e_3$ の順( $e_2$ が $e_1,e_3$ の間)に並ぶように添字を選ぶ。

$\omega_1 = \displaystyle \int_{e_1}^{e_2}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-at-b}}$ , $\omega_2 = \displaystyle\int_{e_2}^{e_3} \frac{dt}{\sqrt{4t^3-at-b}}$

とおく。ルートの偏角や分岐切断線の設定は、積分経路上が正則となればどうとってもよい。

虚数乗法をもつことより、 $\displaystyle\frac{\omega_2}{\omega_1}$ は代数的数(虚二次無理数)で、これを $\alpha$ とおく。ワイエルシュトラスの楕円関数論で、

$\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{({\bf 2} m\omega_1+{\bf 2} n\omega_2)^4} =\frac{a}{60}$ が知られているので（訂正箇所）、変形して

$\displaystyle\frac{1}{16\omega_1^4}\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\frac{\omega_2}{\omega_1})^4} =\frac{a}{60}$ より

$\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\alpha)^4} =\frac{16a\omega_1^4}{60}=\frac{4a\omega_1^4}{15}$ これが目的だった式で、バーゼル問題の類似となっている。

同様に、 $=\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^6} =\frac{b}{140}$ が知られているので、全く同じ変形により

$\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\alpha)^6} =\frac{4b\omega_1^6}{35}$

より高次の級数については、アイゼンシュタイン級数の漸化式で求めることができる： $G_k=\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^{2k}} , c_n=(2n-1)G_n$ とおくと、 $(n-3)(2n+1)c_n=3\displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}c_kc_{n-k}$

具体例を計算してみよう。 $y^2=4x^3-x$ の場合を計算する。右辺の零点は0,1/2,-1/2の3つ。

$\omega_1 = \displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}}$ とおくと、これは実数の世界で計算ができ、 $\omega_1 \approx 1.85407$ となる。

一方 $\omega_2 = \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}}$ は $t=-s$ の変数変換によって $\omega_2 = \displaystyle i\int_{0}^{-\frac{1}{2}}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-s}}=-i\omega_1$ となる。よって $\alpha = \frac{\omega_2}{\omega_1} = -i$ .

実際に $\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m-ni)^4}$ を計算してみると3.151ほどとなる。

$\displaystyle\frac{4\omega_1^4}{15}$ も計算してみると3.151ほどとなり、

$\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m-ni)^4} =\frac{4\omega_1^4}{15} ~~(\omega_1 = \displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}})$

が成り立っていることが確認できた。アイゼンシュタイン級数の検算には、楕円テータ関数による表示を用いている。修正前は別のω１、ω２でのg₂を用いて計算していたため、循環論法のようになり誤りを見逃しました。