数学大好き宣言!

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最大公約数の問題で考えたことまとめ

前回のこの記事で考えた問題について、

mochi-mochi61.hatenablog.com

こちらの記事も参考にしつつ続きを考えてみた。

egory-cat.hatenablog.com

その①: (x+1)^p-t,x^p-tの終結式(p:素数)を求めた(tの多項式として求めた)。答えから書くと、 \displaystyle {\bf -}\prod_{0\lt k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1)となった。(※ただし、(x+1)^p-t,x^p-tのどちらの解を引かれる側、引く側にするかで、(pが奇素数のとき)符号が入れ替わる)

(x+1)^p-tの根は\sqrt[p]{t}\zeta^i-1,x^p-tの根は\sqrt[p]{t}\zeta^j(ζは1の原始p乗根,i,jは整数)だから終結式をfとおくと

 f=\displaystyle\prod_{0\leq i,j\lt p}(\sqrt[p]{t}\zeta^i-1-\sqrt[p]{t}\zeta^j) =\displaystyle \prod_{0\leq i,j\lt p}\zeta^j(\sqrt[p]{t}(\zeta^{i-j}-1)-\zeta^{-j})  =  \prod_{0\leq k\lt p}\prod_{0\leq j\lt p}\zeta^j(\sqrt[p]{t}(\zeta^{k}-1)-\zeta^{-j})

\displaystyle\prod_{0\leq j\lt p}\zeta^j = 1だから、 f=\displaystyle\prod_{0\leq k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1),~k=0のとき積の中身は-1だから、  f=\displaystyle {\bf -}\prod_{0\lt k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1)

よって f(t)=0の解は \frac{1}{(\zeta^k-1)^p}~(kは0\lt k\lt pの整数)

 x^p-\frac{1}{(\zeta^k-1)^p} \displaystyle\prod_{n=0}^{p-1}(x-\frac{\zeta^n}{\zeta^k-1})因数分解される。もし \zeta \frac{1}{(\zeta-1)^p}の有理式で表せれば、この分解は体 {\mathbb Q}(\frac{1}{(\zeta-1)^p})={\mathbb Q}(t)/(f(t))で実現できることになる。

 \frac{1}{(\zeta-1)^p}が、 \zeta \zeta^n(nは1≤n≤p-1の整数)に置き換えるどの自己同型でも不変でないなら、 {\mathbb Q}(\frac{1}{(\zeta-1)^p})={\mathbb Q}(\zeta)だから、 \zeta \frac{1}{(\zeta-1)^p}の有理式で表せることになるはずだけど、どうだろう。

その②: sageで整数係数グレブナー基底を計算してみた。グレブナー基底は名前しか知らないが。

n=0から9までの,イデアル(x^3+n,(x+1)^3+n)の整数係数グレブナー基底

[1]
[x^2 + 13*x + 1, 2*x + 4, 14]
[x + 58, 109]
[x^2 + 115*x + 1, 2*x + 10, 122]
[x + 223, 433]
[x^2 + 325*x + 1, 2*x + 16, 338]
[x + 496, 973]
[x^2 + 643*x + 1, 2*x + 22, 662]
[x + 877, 1729]
[x^2 + 1069*x + 1, 2*x + 28, 1094]

n=0から29までの、イデアル(x^4+n,(x+1)^4+n)の整数係数グレブナー基底

[1]
[x^2 + x + 47, 3*x + 27, 51]
[x^2 + x + 25, 7*x + 119, 231]
[x^2 + x + 380, 11*x + 275, 539]
[x^3 + 54*x^2 + 151*x + 184, 5*x^2 + 80*x + 55, 15*x + 105, 195]
[x^2 + x + 466, 19*x + 779, 1539]
[x^2 + x + 2013, 23*x + 1127, 2231]
[x^2 + x + 311, 27*x + 1539, 3051]
[x^2 + x + 2806, 31*x + 2015, 3999]
[x^3 + 404*x^2 + 911*x + 989, 5*x^2 + 460*x + 265, 35*x + 525, 1015]
[x^2 + x + 1892, 39*x + 3159, 6279]
[x^2 + x + 6859, 43*x + 3827, 7611]
[x^2 + x + 917, 47*x + 4559, 9071]
[x^2 + x + 7472, 51*x + 5355, 10659]
[x^3 + 1074*x^2 + 2311*x + 2434, 5*x^2 + 1160*x + 635, 55*x + 1265, 2475]
[x^2 + x + 4278, 59*x + 7139, 14219]
[x^2 + x + 14585, 63*x + 8127, 16191]
[x^2 + x + 1843, 67*x + 9179, 18291]
[x^2 + x + 14378, 71*x + 10295, 20519]
[x^3 + 2064*x^2 + 4351*x + 4519, 5*x^2 + 2180*x + 1165, 75*x + 2325, 4575]
[x^2 + x + 7624, 79*x + 12719, 25359]
[x^2 + x + 25191, 83*x + 14027, 27971]
[x^2 + x + 3089, 87*x + 15399, 30711]
[x^2 + x + 23524, 91*x + 16835, 33579]
[x^3 + 3374*x^2 + 7031*x + 7244, 5*x^2 + 3520*x + 1855, 95*x + 3705, 7315]
[x^2 + x + 11930, 99*x + 19899, 39699]
[x^2 + x + 38677, 103*x + 21527, 42951]
[x^2 + x + 4655, 107*x + 23219, 46331]
[x^2 + x + 34910, 111*x + 24975, 49839]
[x^3 + 5004*x^2 + 10351*x + 10609, 5*x^2 + 5180*x + 2705, 115*x + 5405, 10695]

n=0から39までの、イデアル(x^5+n,(x+1)^5+n)のグレブナー基底

[1]
[x^2 + 75*x + 53, 11*x + 22, 341]
[x + 12168, 52501]
[x + 236008, 258751]
[x + 480472, 810001]
[x + 1435391, 1968751]
[x + 3153094, 4072501]
[x + 6858638, 7533751]
[x + 7601852, 12840001]
[x + 5626316, 20553751]
[x^2 + 2832284*x + 2839123, 11*x + 1736251, 2846591]
[x + 37858, 45828751]
[x^2 + 30853*x + 15992, 11*x + 3490091, 5899091]
[x + 65050651, 89358751]
[x + 49239490, 120172501]
[x + 14490829, 158343751]
[x + 46698248, 204960001]
[x + 71371576, 261183751]
[x + 134450870, 328252501]
[x + 37238459, 407478751]
[x + 386784174, 500250001]
[x^2 + 1859367*x + 927103, 11*x + 2895013, 55275341]
[x + 366478841, 732352501]
[x^2 + 79416940*x + 79472556, 11*x + 3803228, 79530341]
[x + 236111008, 1037160001]
[x + 1110529223, 1221093751]
[x + 844596812, 1428472501]
[x + 1208711106, 1661208751]
[x + 1485256934, 1921290001]
[x + 2010491853, 2210778751]
[x + 1496838192, 2531812501]
[x + 788102031, 2886603751]
[x^2 + 146249*x + 74130, 11*x + 159215991, 297949091]
[x + 1021073, 3706683751]
[x^2 + 379623968*x + 379664745, 11*x + 202137331, 379706591]
[x + 3412286366, 4690218751]
[x + 2148893330, 5249610001]
[x + 533949044, 5857608751]
[x + 1482684588, 6516952501]
[x + 1973627291, 7230453751]

法則性がわかりやすが、なぜ、こうなるのだろう。