9/7メモ - 数学大好き宣言！

☆役立つし良い定理見つけた。代数体の整数環Ｏ_Kにノルムｐ＾ｎの素イデアルがあるならば、それによる剰余はＯ_Kから𝔽ｐ＾ｎへの全射環準同型となる。では逆に、𝔽ｐ＾ｎへの全射準同型が存在するのはいつもこのようなときに限るだろうか？その全射準同型の核を考えるとそれはＯ_Kのイデアルであり、𝔽ｐ＾ｎはその剰余環。剰余環の位数はｐ＾ｎで、体になっているからこのイデアルは素イデアル。よってO_kにはノルムｐ＾ｎの素イデアルが存在する。ノルムｐ＾ｎの素イデアルはｐの上にあるイデアルに限るから、ｐの素イデアル分解を見ればわかる。

・フロベニウスすごい！フロベニウスはガロアの生成元という定理、これの1つの利用法が分かった。 $a^2=-1$ とおく。フロベニウスを作用させてaがどうなるか見よう。 $a^{p-1}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ ,-1なら $a^p=-a$ で、動くつまり𝔽ｐにはないと分かる。1なら $a^p=a$ で、動かないつまり𝔽ｐの元とわかる。これは平方剰余の「オイラーの基準」そのものだ！

・これ強すぎる。どんな方程式の解aでもa^p計算すれば(多項式の割り算とかで計算可能)体に含まれるかに加えてガロア置換わかるという。

・ちょっと違うか。ガロアでない拡大で。

・絶対ガロア群を考えるということと関連してくるのかなあ。絶対ガロア群を作用させるってよく分からなかったが、有限体ならそれはｐ乗するだけだからなあ。

・ガロアの作用分かっても、たとえばそれがx→-x+1と出ても、解が1/2なのかもしれないので代入は必要かも。あぶないあぶない。

・「虚数単位iは𝔽₅にある」と言うとき、それはx^2+1=が解けることであるって確かにそれは正しいけれど、その意図するところは単にそのような多項式の話じゃなくて、ℚ(i)という体に似てるなあという、体との類似点を言いたい。論理的には同じだけど。同じだが違う！自分で言ってて何言ってんだと思えてきた。意味不明。

・この感覚に割と忠実にできる表現法は、「ℤ[i]から𝔽₅への環準同型がある」が良いと思う。これは𝔽₇へは無い。あると仮定しfとするとf(i)^2+1=0だがそんな元ないので矛盾。結局多項式は使うんだが。しかしf(1+i)^2-2*f(1+i)+2=0などでも矛盾を導け、基底を関係なくできて少しは自然かと思う。

・Ｏ_Kからの準同型はないけどその部分体の整数環からはある、のような状況もありえるんだよな。中間体を考えてなんだかガロア理論ぽい。

・二次体の理論で「𝔽₅にiがある」「𝔽₇には無い」のような「ある・なしの区別」をやるが、その捉え方はまずく、単に二次だから２つで済んだだけと気付く。正しくは恐らく ${\mathbb F_{7^2}}$ にiがあり、 ${\mathbb F_{5^1}}$ にiがある、ということだろう。相対次数って言うのだろうか。

・𝔽₅へℤ[i]から準同型があるのは、mod(1+2i)のことだろう。(1+2i)が素イデアルでノルム5。いろいろあって今の目標は、有理素数ｐの素イデアル分解から𝔽ｐのようすを知りたい、よりくわしく、代数体の部分体であって、その整数環からの準同型が𝔽ｐへ向けてある最大のものを知りたいということ。ｐの上にあるイデアル𝖕による有限体Ｏ_K/𝖕は𝔽ｐの拡大になってて、この拡大が真じゃないつまり拡大次数１、つまりＯ_K/𝖕≅𝔽ｐなら、Ｏ_K/𝖕へのＯ_Kからの準同型の存在より𝔽ｐへの準同型がわかる。相対次数見よう、で終わるな。しかしそれだけじゃない、部分体での素イデアル分解を知らないと。それには対応するガロア群の部分群の作用を見ればすぐにわかるはず、と思うがどうか。とにかく、拡大はガロアという条件をくっつけてガロア群使うのが良いと思う。それで今の目標は解決だろう。素イデアル分解は、意外に情報をもっている。

・分岐してると面倒くさい。

・不分岐のときは分解群で決まるか？

・不分岐のときに、Ｌの部分体Ｍの整数環での素イデアル分解を求めよう。分解群は下の素イデアルで決まるよね？部分体に対応する部分群Ｈと分解群の関係によっていろいろが決まるはず。分解群をＨに制限したものがＭでの分解群となる？まず群なる？群になることはすぐわかる。Ｍでの分解群となるはず。不分岐ならこいつの位数が相対次数となる。Ｍの拡大次数を使って素因数イデアルの個数もわかる。

・わからない＝おもしろみ

・算術級数定理は「オイラーによる素数の無限性の証明から着想を得た」とよく通俗書に載ってるが、証明読んで「これが...?」ってなった。確かに証明してるけど、長い。こんな長く複雑な変形を、「オイラーのでいけるかも」という発想だけで見つけられるものだろうか。「これはいける」と確信していたんだろうか。もっと何度も見返せば方針が見えてくるのか？

・すぐ「ＩＵＴ知りたいです、宇宙とか入ってすごそう」みたいなのに走らないように、正常な「知りたい」はどんなものか考えておいた。物理で例えるとわかりやすい。ロウソクや磁石をみてワクワクしたり不思議に思ったり、電流と磁場の理論にガリレイ変換が通用しないといった矛盾に「おかしいじゃないか」と気になって仕方がなかったりするのは、科学的に正常な好奇心や懐疑心だと思う。数学っぽいのだと、一般化も、「２を３にしたらどうなるんだろう」というのでこれに当たると言えると思う。３次方程式の解の公式も知りたくなっちゃうのが人情というものだ。他にも、論理など。定義に使うことばの定義は？などは気になりだすと止まらない。これらは純粋に科学的な「知りたい」と言えると思う。このような種類の「知りたい」で勉強をやっていきたい。

・好奇心を刺激する現象だけでなく、解明する手段までもくれた数学にひたすら感謝。