数学大好き宣言!

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

有限体をつかった群で、素数の分解法則を調べる

Aを、𝔽ₚⁿの部分集合とする。二項演算 ◦ :A×A→Aは"代数的"で、Aは ◦ に関して群をなすとする。ただし演算◦が代数的とは、x ◦ y= z, x=(x₁, …xₙ), y=(y₁, ... yₙ), z=(z₁, ... zₙ)として、各 zᵢ がx₁, …xₙ , y₁, ... yₙ の有理式で表されるようなものとする。

各pについてこの群の構造が分かれば、x ◦ x ◦ … ◦ x (m回)を xᵐ と書くことにすると、方程式 xᵐ = e (単位元) の解の個数が分かる。演算が代数的であることより、xᵐ =(fₘ,₁(x₁, ... xₙ), fₘ,₂(x₁, ... xₙ), ... fₘ,ₙ(x₁, ... xₙ)) (各fは有理式)と書けるから、xᵐ = eはn変数のn本の連立方程式となる。よってこれはx₁についての1本の代数方程式F(x₁)=0 にまとめられる。この方程式の解の個数が分かるから、ℚにF(x₁)=0の解をすべて添加した体Kにおける素数pの分解のようすがある程度わかるはずだ。

この演算としては楕円曲線の加法なども考えられ、アーベル多様体の理論ともつなげられそうだ。代数曲線などを考えるとき、今回考えたことを念頭においておくと数論との関係がとらえられそう。

ただ∞の扱いについてを修正しないといけない。楕円曲線の加法でも無限遠点を加えて群としていた。元を射影空間とした方がいいのだろうか。