バーンズの多重ゼータ関数とそのN倍公式

あけましておめでとうございます。新年１発目に勉強したのはゼータ関数です。

rを自然数、s,xを複素数(ただしxの実部は正)、ω∊ℂʳ(ただし各成分の実部は正)として、バーンズの多重ゼータ関数を以下で定義。

$\zeta_r(s,x,{\bf ω} ) :=\displaystyle\sum_{{\bf n} \in ({\mathbb Z}_{\geq 0})^r} ({\bf n}\cdot {\bf ω}+x)^{-s}$

この級数はsの実部がｒより大きいとき絶対収束する。

N倍角の公式とは、次の等式のこと。

$\zeta_r(s,Nx,{\bf ω} )=N^{-s}\sum_{{\bf k} \in \{ 1,2,\cdots N-1 \} ^r}\zeta_r(s,x+\frac{{\bf k}\cdot {\bf ω}}{N},{\bf ω} )$

＜証明＞
$\zeta_r(s,Nx,{\bf ω} )=\displaystyle\sum_{{\bf n} \in ({\mathbb Z}_{\geq 0})^r} ({\bf n}\cdot {\bf ω}+Nx)^{-s} = \displaystyle N^{-s}\sum_{{\bf n} \in ({\mathbb Z}_{\geq 0})^r} (\frac{{\bf n}\cdot {\bf ω}}{N}+x)^{-s}$

ここで、 ${\bf n}=N{\bf m}+{\bf k}~({\bf m}\in ({\mathbb Z}_{\geq 0})^r, {\bf k}\in \{0,1,2,\cdots N-1\}^r)$ と置き換えることで

$\zeta_r(s,Nx,{\bf ω} )=\displaystyle N^{-s}\sum_{\bf k}\sum_{{\bf m} \in ({\mathbb Z}_{\geq 0})^r} ({\bf m}\cdot {\bf ω}+x+\frac{{\bf k}\cdot{\bf ω}}{N})^{-s} \\ =\displaystyle N^{-s}\sum_{{\bf k} \in \{ 1,2,\cdots N-1 \} ^r}\zeta_r(s,x+\frac{{\bf k}\cdot {\bf ω}}{N},{\bf ω} )$
(証明終)

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

バーンズの多重ゼータ関数とそのN倍公式