フルヴィッツのゼータ関数の収束

フルヴィッツのゼータ関数の収束を証明できたと思うのでメモ。

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+x)^{-s}~(s,x\in{\mathbb C})$ が、 $Re(s)\gt 1,x\neq 0,-1,-2,\cdots$ のとき絶対収束することを示す。

まず、複素数z,wに対して、 $z^w$ は $e^{w\log z}$ で定義される。これは $\log z=\log |z|+i\arg z$ (log|z|は実数値をとる)のarg(z)のとり方に依存するので、多価関数である。以下、 $0\leq \arg z \lt 2\pi$ とする。

w=a+bi (a,bは実数), log|z|=c (実数値), arg(z)=d とすると、
$z^w=e^{w\log z}=e^{w(\log |z|+i\arg z)}=e^{(a+bi)(c+di)}=e^{(ac-bd)+i(ad+bc)}$
よって、 $|z^w|=|e^{ac-bd}|=|e^{a\log |z|-b\arg z}|=|z|^a\cdot e^{-b\arg z}$
$\arg z \lt 2\pi$ より、 $-b\arg z\lt 2\pi |b|$ だから、 $|z^w|=|z|^a\cdot e^{-b\arg z}\lt|z|^a\cdot e^{2\pi |b|}$

よって、s=σ+iτ (σ,τは実数, σ>1)とすると、

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|(n+x)^{-s}| \lt \sum_{n=0}^{\infty}|n+x|^{-\sigma} \cdot e^{2\pi |\tau|} = e^{2\pi |\tau|}\sum_{n=0}^{\infty}|n+x|^{-\sigma}$

よって、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|n+x|^{-\sigma}$ が収束することを示せばよい。

x=x₁+x₂i(x₁, x₂は実数)とする。 $|n+x|=|n+x_1+x_2i|=\sqrt{(n+x_1)^2 + x_2^2}\geq |n+x_1|$

(i)x₁≥0のとき、

すべての $n$ について $|n+x_1|=n+x₁\geq n$

よって、n≥1のとき、σ>1より、 $|n+x|^{-\sigma}\leq n^{-\sigma}$

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|n+x|^{-\sigma}=|x|^{-\sigma}+\sum_{n=1}^{\infty}|n+x|^{-\sigma}\leq |x|^{-\sigma}+\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\sigma}\lt \infty$

よって収束。
(ii)x₁<0のとき
十分大きな自然数Nをとれば、 $N+x_1 \geq 0$
このとき $n+x_1\geq n-N$
よって n≥N+1 のとき、 $|n+x|\geq |n+x_1|=n+x_1\geq n-N \gt 0$

よって $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|n+x|^{-\sigma} \\= \displaystyle\sum_{n=0}^{N}|n+x|^{-\sigma} + \sum_{n=N+1}^{\infty}|n+x|^{-\sigma} \\ \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{N}|n+x|^{-\sigma} + \sum_{n=N+1}^{\infty}(n-N)^{-\sigma} \\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{N}|n+x|^{-\sigma} + \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\sigma}$