フルヴィッツの四元整数(1)
四元数の性質を分けてメモ(定義、ユークリッド性、一意分解性)
リプシッツの四元整数とは、四元数で、が全て整数のもの。
フルヴィッツの四元整数とは、四元数で、の全てが整数であるか、全てが半整数(整数+1/2)であるもの。整数と半整数が混ざった1/2+i+j+kなどは違う。
リプシッツの四元数全体をL、フルヴィッツの四元整数全体をHとかく。
四元数には行列表現がある:四元数を複素行列
に対応させると、四元数の和、積はそれぞれ行列の和、積になる。
これにより、四元数の積の分配法則、結合法則、スカラー倍との可換性などが分かる。L、Hでも同様。
Lが閉じているのはすぐに分かるが、Hが乗法で閉じていることはあまり明らかでないので、示す。
として、を言えばよい(χ,χ'は0か1)。
まずより
について、 (a,b,c,dは整数) とおくと、
で、aCは、aが偶数のときは係数が整数になるのでHに入り、aが奇数のときは係数が半整数になるのでHに入る。同様にbC, cC, dC∊H.
さらに、のときとなることはの関係式より分かる。よって はHの元の和なのでHの元。
よって
同様に
を計算すると となるので
以上より(A+χC)(B+χ'C)はHの元の和なのでHの元。□
L,Hのノルムを、で定める。ノルムは常に非負整数である。このことはLでは自明。
Hでも、a,b,c,dを整数としてだから成り立つ。