フルヴィッツの四元整数(2) - 数学大好き宣言！

前回のつづき
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定理 $a,b\in H$ として、 $N(ab)=N(a)N(b)$ .
証明: 行列表示によって $a=\begin{pmatrix}x+iy & z+wi\\z-wi & x-iy \end{pmatrix}$ と表すと、
$N(a)=\det\begin{pmatrix}x+iy & z+wi\\z-wi & x-iy \end{pmatrix}$ だから、
行列式の乗法性より定理が導かれる。

定理 $a,b\in H$ , $ab=0 \Leftrightarrow a=0$ または $b=0$ .
証明：右⇒左は明らかだから、左⇒右を示す。
$a,b\in H$ , $ab=0$ のとき、両辺のノルムをとると $N(a)N(b)=0$ .
$N(a),N(b)$ は整数だから、 $N(a)=0$ または $N(b)=0$ .
$a=x+yi+zj+wk$ とすると、 $N(a)=x^2+y^2+z^2+w^2$ だから、
$N(a)=0$ なら $x=0$ かつ $y=0$ かつ $z=0$ かつ $w=0$ つまり $a=0$ .
同様に $N(b)=0$ なら $b=0$ .
よって $ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ .

定理任意の $a,b\in H, b\neq 0$ に対して、ある $q,r\in H$ が存在して、
$a=bq + r$ , $N(r)\lt N(b)$
証明: $b^{-1}a=x+yi+zj+wk$ とする。ここで二つの場合に分けて証明をする。
$(\rm{i})~x,y,z,w$ がすべて半整数のとき
$b^{-1}a\in H$ だから, $q=b^{-1}a,~r=0$ とすれば
$b\cdot b^{-1}a+0=a$ , $N(r)=0\lt N(b)$ ( $b\neq 0$ より) となる。
$(\rm{ii})$ $(\rm{i})$ 以外のとき
$x,y,z,w$ に最も近い整数をそれぞれ $X,Y,Z,W$ とする。
$q=X+Yi+Zj+Wk$ とし、 $r=a-bq$ とすると、 $a=bq+r$ で、
$N(b^{-1})N(r)=N(b^{-1}a-q)\\=(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2+(w-W)^2$
$|x-X|,|y-Y|,|z-Z|,|w-W|\leq 1/2$ で、 $x,y,z,w$ の少なくとも一つは半整数でないことより
少なくとも一つは等号が成立しないから、
$(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2+(w-W)^2\lt 4\cdot (1/2)^2=1$
よって $N(b^{-1})N(r)\lt 1$ だから、 $N(r)\lt N(b)$
$(\rm{i}),(\rm{ii})$ より、定理は示された。