数学大好き宣言!

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

(3/3~)メモ(事実や資料まとめ)

(3/3)
・群は代数的構造を忘れると集合である。同様に群の圏の代数的構造を忘れさせることで集合の圏への関手が作れるらしく、これを忘却関手というらしい。そのまんまだ。
・位数pの有限体のガロア群がp乗で生成されることを示す。有限体𝔽pの有限次拡大Kにおいて、x^p-x=0の解は0,1,...p-1.つまりx^p=x⇔x∊𝔽pとなる。よってp乗写像σで生成される群<σ>⊂Gal(K/𝔽p)の固定体は𝔽pだから、ガロア理論より<σ>=Gal(K/𝔽p).なるほど。
ラプラシアン行列はキルヒホッフ行列とも言うらしい。
・グラフの第一ベッチ数は、ベッチより前にキルヒホッフにより導入されていたそうだ。しかし別にキルヒホッフは数学の研究者ではなく、物理学者だったらしい。
・グラフにはタイセット行列、カットセット行列というものがあるらしい。閉路や切断を定義に使う行列だ。電気回路への応用が多いようだ。
・キルヒホッフの第一法則は、有向グラフの接続行列で書ける。まず回路をグラフと見なし、各辺に向きを好きに決め、頂点と辺に番号を振っておく。k番目の辺における電流はさっき決めた向きにI_kの大きさだとする(逆向きは負)。これをk=1から順に縦に並べたベクトルをxとし、さらにグラフの接続行列をAとする。このときキルヒホッフの第一法則はAx=o(oは零ベクトル)と表せる。
・グラフの閉経路全体は行列で書ける。グラフの閉経路は、辺の整数係数の線形結合であって、境界がないものと特徴付けられるから、Aを接続行列、xを辺の線形結合を表すベクトルとして、Ax=oであるもの全体が閉経路。
・閉経路でないところに電流が流れえない(端点から電流が湧き出すことになるから)ことは、上の二つの関係を反映している。
・周回積分が0であることが、不定積分が定義できることを表すのと同様、キルヒホッフの第二法則は、電位を定義できることを示している。
・代数曲線の双有理同値を判定することは難しい問題だが、種数1の代数曲線はすべて双有理同値だから、このときは種数という位相的な量だけで双有理同値性を判定できる。
・有限体のハッセ・ヴェイユゼータ関数の特殊値は、ひとつの層ではとらえられず、モチビック複体と呼ばれる層の複体が関係するらしい。