電気回路と行列(補足) - 数学大好き宣言！

前回↓mochi-mochi61.hatenablog.com
今回は電位・電位差との関係を考える。
頂点 $v_k$ での電位が $V(v_k)$ であるとする。このとき ${\bf V}=\begin{pmatrix}V(v_1)\\V(v_2)\\ \vdots\\V(v_m)\\\end{pmatrix}$ とする。
${\bf V}$ に $A$ の転置行列 ${}^t A$ をかけてみよう。
　　 ${}^t A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\cdots&a_{m,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}&\cdots&a_{m,2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1,n}&a_{2,n}&\cdots&a_{m,n}\\\end{pmatrix}$
だから、素直に ${}^t A{\bf V}$ を計算すると、 ${}^t A{\bf V}$ の第j成分は
$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}V(v_i)$
$a_{i,j}$ の定義は、 $v_i={\rm end}(e_j)$ なら1, $v_i={\rm st}(e_j)$ なら-1,どちらでもないなら０というものだった。よって
$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}V(v_i)=V({\rm end}(e_j))-V({\rm st}(e_j))$
これは ${\rm end}(e_j)$ と ${\rm st}(e_j)$ の電位差である。よって ${}^t A{\bf V}$ は各辺の前後の電位差を並べたベクトルになる。 $e_k$ の前後の電位差を $E_k$ 、 ${\bf E}=\begin{pmatrix}E_1\\E_2\\ \vdots\\E_n\\\end{pmatrix}$ と書くことにすると、これは ${}^t A{\bf V}={\bf E}$ と書ける。
短いが、以上。