数学大好き宣言!

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

超幾何級数と連分数(₁F₁の場合)

F(a,b;z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_nz^n}{n!(b)_n} (ただし(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)はポッホハマー記号)とおくと、これは隣接関係式と呼ばれる次の2式を満たす:
F(a,b-1;z)-F(a+1,b;z)=\displaystyle\frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}F(a+1,b+1;z)
F(a,b-1;z)-F(a,b;z)=\displaystyle\frac{az}{b(b-1)}F(a+1,b+1;z)
これらを示す。
一番目の式:
まず、
(b-1)(b)_n=(b-1)b(b+1)\cdots (b+n-1)=(b-1)_{n+1},\\(b-1)_n(b+n-1)=(b-1)b\cdots (b+n-2)(b+n-1)=(b-1)_{n+1}
さらに、
(a+1)_n=(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)(a+n)=(a+1)_{n-1}(a+n),\\(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)=a(a+1)_{n-1}
以上より
\,\,\,\,\displaystyle\frac{(a)_n}{(b-1)_n}-\frac{(a+1)_n}{(b)_n}\\=\displaystyle\frac{(a)_n(b+n-1)-(a+1)_n(b-1)}{(b-1)_{n+1}}\\=\displaystyle\frac{\Bigl(a(b+n-1)-(a+n)(b-1) \Bigr)(a+1)_{n-1}}{(b-1)_{n+1}}\\=\displaystyle\frac{(a-b+1)n(a+1)_{n-1}}{(b-1)b(b+1)_{n-1}}

z^n/n!をかけて

\displaystyle\frac{(a)_n z^n}{(b-1)_n n!}-\frac{(a+1)_n z^n}{(b)_n n!}=\displaystyle\frac{(a-b+1)n(a+1)_{n-1}z^n}{(b-1)b(b+1)_{n-1}n!}\\=\displaystyle\frac{(a-b+1)z}{(b-1)b}\frac{(a+1)_{n-1} z^{n-1}}{(n-1)!(b+1)_{n-1}}

n=1から∞まで和をとって

(F(a,b-1;z)-1)-(F(a+1,b;z)-1)\\=F(a,b-1;z)-F(a+1,b;z)=\displaystyle\frac{(a-b+1)z}{(b-1)b}F(a+1,b+1;z)

二番目の式は簡単。前回↓
超幾何級数と連分数(₀F₁の場合) - 数学大好き宣言!
で示した式:
\displaystyle \frac{1}{n!(a-1)_n }z^n-\frac{1}{n!(a)_n }z^n=\frac{z}{(a-1)a}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!(a+1)_{n-1}}
のaをbに書き換え、さらに両辺に(a)_nをかけると
\displaystyle \frac{(a)_n}{n!(b-1)_n }z^n-\frac{(a)_n}{n!(b)_n }z^n=\frac{z}{(b-1)b}\frac{(a)_n z^{n-1}}{(n-1)!(b+1)_{n-1}}
              =\displaystyle\frac{az}{(b-1)b}\frac{(a+1)_{n-1} z^{n-1}}{(n-1)!(b+1)_{n-1}}
よって両辺のn=1から∞までの和をとってF(a,b-1;z)-F(a,b;z)=\displaystyle\frac{az}{b(b-1)}F(a+1,b+1;z)を得る。

あとはこれを用いて前回同様展開していけば{\displaystyle {\frac {F(a+1,b+1;z)}{F(a,b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}

こちらも参照↓
ja.wikipedia.org