超幾何級数と連分数(₁F₁の場合)
(ただしはポッホハマー記号)とおくと、これは隣接関係式と呼ばれる次の2式を満たす:
これらを示す。
一番目の式:
まず、
さらに、
以上より
をかけて
n=1から∞まで和をとって
二番目の式は簡単。前回↓
超幾何級数と連分数(₀F₁の場合) - 数学大好き宣言!
で示した式:
のaをbに書き換え、さらに両辺にをかけると
よって両辺のn=1から∞までの和をとってを得る。
あとはこれを用いて前回同様展開していけば
こちらも参照↓
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