母関数とラプラス変換・フーリエ変換の類似性

数列←→その母関数と、関数←→そのラプラス変換、関数←→そのフーリエ変換　は、とてもそっくりだ。
特に、畳み込みに関する性質と微分に関する性質がおもしろい。

※フーリエ変換の定義は $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}~dx$ とする
$a_n,b_n$ の母関数をそれぞれ
$\displaystyle A(X)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n X^n,~B(X)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n X^n$
$f(x),g(x)$ のラプラス変換をそれぞれ $F_{\mathcal L}(s),G_{\mathcal L}(s)$ , フーリエ変換をそれぞれ $F_{\mathcal F}(\omega),G_{\mathcal F}(\omega)$ とする。
畳み込みに関して、次が成り立つ。
(1) $\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ の母関数は、 $A(X)B(X)$
(2) $\int_{0}^x f(t)g(x-t) dt$ のラプラス変換は、 $F_{\mathcal L}(s)G_{\mathcal L}(s)$
(3) $\int_{0}^x f(t)g(x-t) dt$ のフーリエ変換は、 $F_{\mathcal F}(\omega)G_{\mathcal F}(\omega)$

$\displaystyle \Delta a_n:=\begin{cases}a_n-a_{n-1}&(n\gt 0)\\a_0&(n=0)\end{cases}$ を $a_n$ の差分とよぶ。
差分、微分に関して、次が成り立つ。
(1) $\Delta a_n$ の母関数は、 $(1-X)A(X)$
(2) $f'(x)$ のラプラス変換は、 $sF_{\mathcal L}(s)-f(0)$
(3) $f'(x)$ のフーリエ変換は、 $i\omega F_{\mathcal L}(\omega)$
どれも一次の因子が出てくる。
(2),(3)が部分積分によって証明できるように、
(1)も"部分和分"で証明できる。