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barnesの多重ゼータ関数の積分表示

数学

rを自然数とする。 {\boldsymbol \omega}\in{\mathbb C}^r, 各成分の実部は正とする。またx∊ℂとする。
このとき級数
F(t)=\displaystyle \sum_{{\bf n} \in {(\mathbb Z_{ \geq 0 }})^r} \exp( - ({\bf n}\cdot{\boldsymbol \omega} + x) t )
はt∊(0,∞) で絶対収束する。
これをメリン変換して
\displaystyle \frac{1}{\Gamma (s) } \int_0^{\infty} F(t)t^{s-1} dt=\sum_{{\bf n} \in {(\mathbb Z_{ \geq 0 }})^r} \frac{1}{ ({\bf n}\cdot{\boldsymbol \omega} + x)^s}=\zeta(s,x,{\boldsymbol \omega})
ただしζはバーンズの多重ゼータ関数と呼ばれる関数。
さて、F(t)はより変形できる。
{\bf n}=(n_1,n_2,\cdots , n_r), {\boldsymbol \omega}=(\omega_1, \omega_2,\cdots \omega_r) とすると、
F(t)=\displaystyle \exp(-tx) \sum_{n_1\geq 0}\cdots \sum_{n_r \geq 0} \exp(-n_1 \omega_1 t) \cdots \exp(-n_r \omega_r t)
\displaystyle = \exp(-tx) (\sum_{n_1 \geq 0} \exp(-n_1 \omega_1 t)) \cdots (\sum_{n_r \geq 0} \exp(-n_r \omega_r t))
\displaystyle =e^{-tx} \prod_{k=1}^r \frac{1}{1-e^{-\omega_k t}}
これで、綺麗な積分表示が得られる。