示したいこと：a>1が自然数のとき、 高次元の曲線の積分が、πの円分数倍になるのが不思議。＜証明＞ ベータ関数とは で定義される関数である。 を求める。 と置換積分する。のとき で、 だから、 一方、 だから、ガンマ関数の相反公式より、 よって、 結局、…

ガウス積分とはのこと。 これはとも書ける。 この一般化としてを求めよう。 とおくと、 よって 既におもしろいが、さらにこれを代数関数の積分を使って表示する。 (n変数) ただしBは多変数ベータ関数。 多変数ベータ関数の積分表示(フェルマー多様体の積分の…

フェルマー多様体とは、m,nを自然数として という代数多様体のこと。n=2のときこれはフェルマー曲線 となる。 m=2のときこれは超球面 となる。 多変数ベータ関数とは (ただし) のこと。 と変数変換する。 積分範囲は変化せず、 , i≠jのとき だから、ヤコビア…

(, ) について(1)無限積表示(2)多変数ベータ関数の比による表示を導く。(1)ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限積表示とは、 のこと。ただしγはオイラーの定数。 ※この積は絶対収束する。つまり積の順序交換ができる。 のとき、 ワイエルシュトラスの無限…

nを自然数とする。多変数ベータ関数とは (ただし) これは通常のベータ関数同様、次のガンマ関数による表示をもつ： 証明) ここで変数変換をする。 ,ただし 。 また、 とおく。 , とおく.ΦはDからEへの関数で、Φは一対一対応であることを示す。 のとき、定義…

主定理：m,nが自然数で、n≠1のとき、 ベータ関数を使って示す。 ベータ関数とは で定義される関数である。 , とする。 と置換積分する。のとき で、 だから、 ガンマ関数との関係式より、 (とより) ここでガンマ関数の無限乗積表示より(ガンマ関数の積の比の…

ベータ関数とは で定義される関数。 この記事では、 ベータ関数の無限乗積表示： を示す。ベータ関数はガンマ関数と次のような関係がある： こちらのサイト様で証明が読める：ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 | 数学の景色さて、ガンマ関数には次…