(x+a)ᵐ(x+b)ⁿ の逆数の部分分数分解

$\frac{1}{(x+a)(x+b)}$ の部分分数分解はよく知られていて $\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\frac{1}{x+a}-\frac{1}{b-a}\frac{1}{x+b}$ である。
これをbで偏微分してみる。(これはa,b,xの恒等式だから、bで微分しても両辺は等しい)
積の微分公式を使うと
$\displaystyle \frac{-1}{(x+a)(x+b)^2} \\ \displaystyle =\frac{-1}{(b-a)^2} \frac{1}{x+a}-\frac{-1}{(b-a)^2}\frac{1}{x+b} - \frac{1}{b-a}\frac{-1}{(x+b)^2}$
$\frac{-1}{(x+a)(x+b)^2}$ の部分分数分解が得られた。
同様に、 $\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\frac{1}{x+a}-\frac{1}{b-a}\frac{1}{x+b}$ の両辺をaでm-1回、bでn-1回偏微分すれば、 $\frac{1}{(x+a)^m(x+b)^n}$ の部分分数分解が得られる。なぜなら、そうすれば左辺は $\frac{1}{(x+a)^m(x+b)^n}$ の定数倍になり、積の微分公式より右辺第一項、第二項はそれぞれ $\frac{1}{(b-a)^i}\frac{1}{(x+a)^j}$ の線形結合、 $\frac{1}{(b-a)^k}\frac{1}{(x+b)^l}$ の線形結合で表せる。これは部分分数分解に他ならない。