クリスマスも過ぎ、2020年も終わりに近づいてきた。今年もいろいろな数学を勉強し、今年からはブログに時々メモしてきた。メモしたからには見返さないと意味がない。記事を見つつ振り返ってみる。 ・今年はリーマン面の理論を知り、閉リーマン面上の有理型関…

Aを、𝔽ₚⁿの部分集合とする。二項演算 ◦ :A×A→Aは"代数的"で、Aは ◦ に関して群をなすとする。ただし演算◦が代数的とは、ｘ ◦ ｙ= ｚ, ｘ＝(ｘ₁, …ｘₙ), y=(y₁, ... yₙ), z=(z₁, ... zₙ)として、各 zᵢ がｘ₁, …ｘₙ , y₁, ... yₙ の有理式で表されるようなもの…

f:S→SをS上の関数とする。Sの有限の分割{S₁,S₂,…Sₙ}で、どのSᵢについても f(Sᵢ)=Sⱼ となる Sⱼ が存在するようなものを考えたい。これはmodをとることの類似と考えていて、うまい分割をとることで反復合成に関して見通しをよくできないかなと考えている。 簡…

久しぶりの更新になる。最近勉強したこと：長方形の正方形でのタイリングは、グラフの調和関数で表せる。以下メモ。正方形を辺、横向きの平行線を頂点としてグラフをつくる。頂点上の関数ｆを、各頂点で、その頂点の対応する平行線の高さ（底辺からの距離）…

n⁵+5と(n+1)⁵+5の最大公約数が、ほとんどの場合１で、それ以外のときは1968751(これはx⁵+5と(x+1)⁵+5の終結式)となる、という現象について、似たものをいくつか(wolframなどで計算して)見つけた。 ・gcd(n³+3,n²+2)は、n≡11(mod17)のとき17で、それ以外１。…

まとまった進展があったのでメモ。 fⁿ(x)-x=0の形の方程式を考える。ただしfⁿはn回合成写像、fは多項式。fⁿ(x)-x=0の解をα₁,α₂,・・・,αᵢ,・・・(有限個)とする。 このときf(αᵢ) もfⁿ(x)-x=0の解である。証明：fⁿ(f(αᵢ))=f(fⁿ(αᵢ))=f(αᵢ) よって fⁿ(x)=x を…

・円分体の類数は、類数公式を元に、二つの因数の積に分けて考えるそうだ。 ・算術級数定理は、「指標の直交性」で特定のan+bを残せることを使うようだ。「直交性」は一般に群の表現にあるようで、それを用いて算術級数定理の一般化ができるらしい。ただ、今…

ガロア拡大の合成拡大はガロア拡大か。簡単すぎるのか、検索してもどこでも取り上げられてなくて困った。しかし証明を思いついた（つまり真だった）のでメモ。ガロア対応はすごく使いやすくていいね。 基礎体はKと書き固定。Kのガロア拡大M₁,M₂を考える。M₁…

☆役立つし良い定理見つけた。代数体の整数環Ｏ_Kにノルムｐ＾ｎの素イデアルがあるならば、それによる剰余はＯ_Kから𝔽ｐ＾ｎへの全射環準同型となる。では逆に、𝔽ｐ＾ｎへの全射準同型が存在するのはいつもこのようなときに限るだろうか？その全射準同型の核…

・代数的整数論は一部の問題にとてもつかいやすいし、使うことでまた理解を深められる。 ・数学の長い証明や難しい定理の連続も、イメージや意図や方針がわかっていれば、割合分かりやすい。 ・直感と直感を実現する技巧は分離したいということか。 ・pのℤ[α…

今日はだいたい、行列のζ関数、合同ζ関数、グラフの(伊原)ζ関数について考えていた。 合同ゼータ関数の３つの形を知っている。１つめは指数で定義されるexp(Σa_n*x^n)の形。２つめは有理関数形P1(x)*P3(x)*.../P0(x)*P2(x)...。これは行列式表示ともみなせる…

意外に単純な関係が導けた。 まずは二方向の格子のべき和。 を求める問題を考える。 母関数を考える。の定義より 和を交換し(絶対収束を一旦認める) これはベルヌーイ数との関係が見やすいよう変形できて これに、ベルヌーイ数のテイラー展開による定義を代…

・行列のゼータ関数の定義←→局所ゼータ関数の定義(exp()で定義)、どちらも行列式表示をもつ→"跡公式"で示される(局所のは、レフシェッツ不動点定理をフロベニウスに適用)→これが「有限体の多様体での"コホモロジー理論"を打ち立てる」の意味。跡公式さえあれ…

9月になった。 ・.よって局所環ℤ₃[2^(1/3)]で３＝。割り算自由な局所環便利、と思いきや、類数１で、も単数だった。 ・完備離散付値環の素イデアル分解はどうなる？べきにしか分解しないなら、それで分岐のことがわかるのか？まだまだ局所的テクニックは使い…

グラフ理論です。 グラフとは、頂点の集合と、頂点をつなぐ辺の集合の組。考えるグラフは単純グラフとする。単純グラフとは、ループ(両端が同一の点である辺)と多重辺(ある2頂点をつなぐ辺が複数ある状態)のないグラフのこと。 f(x)を(単純)グラフの頂点から…

節目なので振り返ってみる。 ・記事数が随分増えたが、たくさん勉強した証ではなく、日記が多いだけ。 ・とはいえ数学は高い更新ペースというのは無理だ。勉強には時間がかかるし、勉強したことを書けるほど理解する、嚙み砕く時間もかなりかかる。面白いこ…

乗法的関数とは、自然数の関数であって、自然数が互いに素なとき、となる関数のこと。そのような関数の母関数を(収束は厳密には考察せずに、級数の操作で)考察する。 まず、を素数として、 とすると、これは乗法的関数となる。完全乗法的(互いに素の条件が要…

・複素力学系おもしろすぎる。外射線と、周期点の分類理論がおもしろい。 ・二乗の総和の式の図形的解釈、対称性を使ってる。対称性に着目して何か一般化できそう。考えないとわからないけど。 ・よく考えたらこれだな↓ 空間の次元を上げる一般化ができるか…

・微分形式とは何か、とりあえず知りたい。ストークスの定理とかベクトル解析調べてて見つけた、あと以前からきいたことが。←層とも関係？ ・確率過程で引っかかっていたところ、解決できそう ・共形場理論？ファイバーバンドル ・構造群？ファイバーバンド…

もしかしてこれ、Twitterでいい・・・？ ・調和関数単体ではなく、適当な関数とペアにして積を入れ、環にしようというお話。 ・積もコーシーリーマンを満たすことの証明が面倒くさい。 ・調和関数の平均値の定理を使って積の証明ができないか。 ・線積分は、…

・geogebraとか埋め込んでみた。上のはパップスの六角形定理。曲線上のABCDEFをとると、GHIは一直線に並ぶという定理。なんと二次曲線ならいつでも成り立つというのが凄いところ。射影幾何をいろいろ検索してて見つけたおもしろい定理。 ・geogebraがすごい…

前回のこの記事で考えた問題について、 mochi-mochi61.hatenablog.com こちらの記事も参考にしつつ続きを考えてみた。 egory-cat.hatenablog.com その①: (x+1)^p-t,x^p-tの終結式(p:素数)を求めた(tの多項式として求めた)。答えから書くと、となった。(※ただ…

※8/17 もう少し考察してみました mochi-mochi61.hatenablog.com ※筆者は整数論の初学者で、誤りや、回りくどい論述などがあるかと思います。発見したら指摘していただけると助かります。 こちらのツイートで提示され 多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿…

・格子は相似なのに、虚数乗法がちがうなんてことあるだろうか。 ・↑生成元について示すことで証明できる。 ・SL(2,Z)の生成元分解は、結局はユークリッドの互除法だ。 ・ランダムとか規則性ってなんだろう。特定の素数pではn²+n+pがずっと素数になることに…

・複素関数の引っかかってたところに一応の落としどころがついたが、後でまだ考えねば。 ・周回積分は扱いやすい。点から点への積分は厄介。 ・たまたま、「関数」「函数」論争を見た。字体の違いではなく、旧字の函に対応するものがなく当て字で関をもって…

※8/13 重大な間違いがありました！！それにより答えが16倍ずれていました。訂正しました。 バーゼル問題：(ゼータ関数の特殊値)を一般化する。 を虚数乗法をもつ楕円曲線とし、右辺＝０の根をとする。３点が一直線上にある場合は、の順(がの間)に並ぶように…

・間違えて書いちゃうのが怖い。数値計算で実証できたほうがいいなあ。計算も充実させたい。 ・Abel関数論もやる。円分をCMにもつ場合が気になるから。気になるまとまってる資料がネット上に見当たらないので、頑張るしかない。 ・アーベル積分の積分経路は…

日の過ぎるのがはやい。思ったより数学は進まない。 ・けっこう考えてたことが、あっさりwikipediaに載ってて悔しい。でも考えたことでかなり理解が深まった気がする。 ・℘の微分方程式(℘')²=4℘³-g₂℘-g₃で、ｇ₂とｇ₃は実数になっているとする。右辺＝０の℘の…

ゾロ目の日だ。 ・「基本群とラプラシアン」というpdfを見つけた。勝手に予測変換に出てきたんだが、おもしろそう。ゼータ関数と作用素がどうとかの話らしい。あのおもしろそうなセルバーグゼータが出てくる。 ・グラフの正則関数の話と、リーマン面が代数的…

タイトルの通り、素イデアル分解（代数体の整数環での）を計算機に解いてもらう方法を見つけた。 筆者は計算機やパソコンのことはド素人なのでいろいろ注意。 Magmaというソフトウェアを用いる。これは本来は有料なのだが、以下のリンクの「calculator」をク…