環論メモ(極大イデアルによる剰余環)

${\mathbb Z}/ n{}\mathbb Z$ は、nが素数のときのみ体になる。これは整数論で有用だ。これを一般化しよう。

今回の主定理
$A$ :環, $I\subset A$ :イデアルとする。このとき、
$I$ は極大イデアル $\Leftrightarrow$ 剰余環 $A/I$ は体。

まず次の補題を示す。
補題
環 $R$ が体 $\Leftrightarrow$ $R$ のイデアルは $\{0\}$ と $R$ 自身のみである。
証明
まず、 $R$ が体であるとする。 $I\subset R$ をイデアルとし、 $I \neq \{0\}$ とする。仮定よりある $r \neq 0$ があって $r \in I$ . よって $1 = r^{-1}r \in I$ . よって任意の $r' \in R$ に対して $r' = r'\cdot 1 \in I$ .よって $I=R$ . 以上より $I=\{0\}$ または $I=R$ .
逆に、 $R$ のイデアルは $\{0\}$ と $R$ 自身のみであるとする。任意に $r \in R$ をとると、 $rR = \{0\}$ または $rR=R$ であり、前者のとき、任意の $r' \in R$ に対して $rr'=0$ だから $r=0$ . 後者のとき、 $1 \in R = rR$ よりある $r' \in R$ が存在して $rr'=1$ となるから $r$ は可逆元。よって任意の元が零元か可逆元だから、 $R$ は体。(終)

さらに前回(環論メモ(イデアルと剰余環) - 数学大好き宣言！)より、次が言える：
定理　 $A$ :環, $I\subset A$ :イデアル, $\pi:A \rightarrow A/I$ :自然な射影とする。このとき、 $A$ の $I$ を含むイデアルと、 $A/I$ のイデアルは一対一対応し、その対応は $A \supset J \mapsto \pi(J) \subset A/I$ , $A/I \supset J' \mapsto \pi^{-1}(J') \subset A$ で与えられる。

これらを用いて、主定理を証明しよう。
主定理の証明
まず、 $I$ を極大イデアルとする。 $I$ を含む $A$ のイデアルは $I,A$ のみだから、 $A/I$ のイデアルは $\pi(I)=\{0\}$ と $\pi(A)=A/I$ のみ. よって $A/I$ は体。
逆に $A/I$ が体であるとすると、 $I$ を含む $A$ のイデアルは $\pi^{-1}(\{0\})=I$ と $\pi^{-1} (A/I) =A$ のみ. よって $I$ は極大イデアル。（終）

例
$K$ :体、 $f(x)\in K[x]$ とする。 $K[x]/(f(x))$ が体であることと、 $f(x)$ が既約であることは同値。
証明： $K[x]$ は単項イデアル環だから、 $f(x)K[x] \subset g(x)K[x]$ $\Leftrightarrow$ $g(x)$ は $f(x)$ を割り切る。よって $f(x)$ が既約なことは $f(x)K[x]$ が極大イデアルであることと同値。
こうして体の拡大の理論も支えている定理なのだ。