まとまった進展があったのでメモ。 fⁿ(x)-x=0の形の方程式を考える。ただしfⁿはn回合成写像、fは多項式。fⁿ(x)-x=0の解をα₁,α₂,・・・,αᵢ,・・・(有限個)とする。 このときf(αᵢ) もfⁿ(x)-x=0の解である。証明：fⁿ(f(αᵢ))=f(fⁿ(αᵢ))=f(αᵢ) よって fⁿ(x)=x を…

・円分体の類数は、類数公式を元に、二つの因数の積に分けて考えるそうだ。 ・算術級数定理は、「指標の直交性」で特定のan+bを残せることを使うようだ。「直交性」は一般に群の表現にあるようで、それを用いて算術級数定理の一般化ができるらしい。ただ、今…

ガロア拡大の合成拡大はガロア拡大か。簡単すぎるのか、検索してもどこでも取り上げられてなくて困った。しかし証明を思いついた（つまり真だった）のでメモ。ガロア対応はすごく使いやすくていいね。 基礎体はKと書き固定。Kのガロア拡大M₁,M₂を考える。M₁…

☆役立つし良い定理見つけた。代数体の整数環Ｏ_Kにノルムｐ＾ｎの素イデアルがあるならば、それによる剰余はＯ_Kから𝔽ｐ＾ｎへの全射環準同型となる。では逆に、𝔽ｐ＾ｎへの全射準同型が存在するのはいつもこのようなときに限るだろうか？その全射準同型の核…

・代数的整数論は一部の問題にとてもつかいやすいし、使うことでまた理解を深められる。 ・数学の長い証明や難しい定理の連続も、イメージや意図や方針がわかっていれば、割合分かりやすい。 ・直感と直感を実現する技巧は分離したいということか。 ・pのℤ[α…

今日はだいたい、行列のζ関数、合同ζ関数、グラフの(伊原)ζ関数について考えていた。 合同ゼータ関数の３つの形を知っている。１つめは指数で定義されるexp(Σa_n*x^n)の形。２つめは有理関数形P1(x)*P3(x)*.../P0(x)*P2(x)...。これは行列式表示ともみなせる…

意外に単純な関係が導けた。 まずは二方向の格子のべき和。 を求める問題を考える。 母関数を考える。の定義より 和を交換し(絶対収束を一旦認める) これはベルヌーイ数との関係が見やすいよう変形できて これに、ベルヌーイ数のテイラー展開による定義を代…

・行列のゼータ関数の定義←→局所ゼータ関数の定義(exp()で定義)、どちらも行列式表示をもつ→"跡公式"で示される(局所のは、レフシェッツ不動点定理をフロベニウスに適用)→これが「有限体の多様体での"コホモロジー理論"を打ち立てる」の意味。跡公式さえあれ…

9月になった。 ・.よって局所環ℤ₃[2^(1/3)]で３＝。割り算自由な局所環便利、と思いきや、類数１で、も単数だった。 ・完備離散付値環の素イデアル分解はどうなる？べきにしか分解しないなら、それで分岐のことがわかるのか？まだまだ局所的テクニックは使い…

グラフ理論です。 グラフとは、頂点の集合と、頂点をつなぐ辺の集合の組。考えるグラフは単純グラフとする。単純グラフとは、ループ(両端が同一の点である辺)と多重辺(ある2頂点をつなぐ辺が複数ある状態)のないグラフのこと。 f(x)を(単純)グラフの頂点から…