高次多項式力学系の発散条件(十分条件)

充填ジュリア集合やマンデルブロ集合の描画では、条件「|z|が2か|c|を越えれば、fⁿ(z)は発散」があったために、点の発散を確定することができ、発散する点については有限回の計算で終わらせることができた。高次多項式の力学系に於いても、同じような境界を作れる：
定理: $f(z)=z^n + \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} z^i$ とする。(ｎは2以上の自然数、各cᵢ は複素数)
$|z|$ は、 $|z|\geq 4$ かつ任意のiで $|c_i|\leq \dfrac{|z|^{n-i}}{2n}$ を満たすとする。
このとき、 $\lim _{k\rightarrow \infty}|f^k(x)|=\infty$ ( $f^k$ はk回合成)

証明： $|z|$ が条件を満たすとき、
$|f(z)|\geq |z|^n - \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} |c_{i}| |z|^i \geq |z|^n - \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{|z|^{n}}{2n}$
$=\frac{1}{2}|z|^n \geq \frac{4}{2}|z|^{n-1} \geq 2|z|$
(条件不等式の代入の際には、符号に注意)
よって $|f(z)|\geq 2|z|$ が言えたから、繰り返し適用して
$|f^k(z)|\geq 2|f^{k-1}(z)|\geq \cdots\geq 2^k |z|$ . よって正の無限大に発散する。