p進解析(1)冪級数の収束半径 - 数学大好き宣言！

p進解析(2)冪級数の原点での連続性 - 数学大好き宣言！
p進解析(3)一致の定理 - 数学大好き宣言！

pを素数とする。p進数体 ${\mathbb Q}_p$ 上で、和 $S_n=S_n(\{a_k\}_k,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k t^k$ (a_nはp進数列) の極限(点列と見て極限を取る)を考えよう。
定理: $S_n$ が収束⇔ $a_n t^n$ がn→∞で0に収束
証明：
(⇒の証明) $S_n$ が収束
⇔ $S_n$ がコーシー列( ${\mathbb Q}_p$ は完備だから)
⇔任意のε>0に対してあるN∊ℕが存在して、m>n>N ならば $|S_m - S_n|_p \lt \varepsilon$
つまり $|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{m} a_k t^k|_p \lt \varepsilon$
ここでnとしてm-1をとれば $|a_m t^m|_p \lt \varepsilon$
よって $a_m t^m$ は0に収束する。
(⇐の証明) $a_n t^n$ がn→∞で0に収束するから、任意のεに対してあるNが存在して、ｎ>Nならば
$|a_n t^n|\lt \varepsilon$
よってm>n>Nのとき
$|S_m - S_n|_p = |\displaystyle\sum_{k=n+1}^{m} a_k t^k|_p \leq \max\{|a_k t^k|_p |~~ n+1\leq k \leq m\} \lt \varepsilon$
(強三角不等式を用いた)
よってS_nはコーシー列だから収束する。
(証明終)

この定理により、S_nに収束半径の概念があることが分かる：
定理：t∊ ${\mathbb Q}_p$ で $S_n(\{a_k\}_k,t)$ が収束するとき、|s|≤|t| となる任意のs∊ ${\mathbb Q}_p$ で $S_n(\{a_k\}_k,s)$ は収束する。
(証明) $S_n(\{a_k\}_k,t)$ が収束するから、 $a_n t^n$ が0に収束。
一方|s|≤|t|より $0\leq |a_n s^n|\leq |a_n t^n|$ だから $a_n s^n$ は0に収束。よって $S_n(\{a_k\}_k,s)$ は収束する。

系：t∊ ${\mathbb Q}_p$ で $S_n(\{a_k\}_k,t)$ が発散するとき、|s|≥|t| となる任意のs∊ ${\mathbb Q}_p$ で $S_n(\{a_k\}_k,s)$ は発散する。
証明： $S_n(\{a_k\}_k,s)$ が収束すると仮定すると、|s|≥|t|より $S_n(\{a_k\}_k,t)$ は収束するはずなので矛盾。

よって、 $S_n(\{a_k\}_k,t)$ が収束するような|t|が有限なら、最大値を $p^{-v}$ (vは整数)とすると(非有界のときはv=-∞)、 $|t|\leq p^{-v}$ のとき $S_n(\{a_k\}_k,t)$ は収束し、 $|t|\geq p^{-v+1}$ のとき $S_n(\{a_k\}_k,t)$ は発散する。
言い換えると、ある $v\in{\mathbb Z}\cup \{-\infty\}$ が存在して、 $\{t\in {\mathbb Q}_p | S_n(\{a_k\}_k,t)は収束 \}=p^v {\mathbb Z}_p$ (ℤₚはｐ進整数環)