ウォリス積の一般化(含むﾚﾑﾆｽｹｰﾄ周率)

主定理：m,nが自然数で、n≠1のとき、
$\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^m}}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(mnk+mn+n-m)}{(mk+m+1)(nk+n-1)}$

ベータ関数を使って示す。
ベータ関数とは
$\mathrm {\mathrm {B} } (a,b)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\!$
で定義される関数である。
$a=\frac{1}{m}$ , $b=1- \frac{1}{n}$ とする。
$t=x^m$ と置換積分する。 $t:0～1$ のとき $x:0～1$ で、 $\frac{dt}{dx} = mx^{m-1}$ だから、
$\mathrm {\mathrm {B} } (\frac{1}{m},1-\frac{1}{n})=m\int _{0}^{1}(x^m)^{1/m-1}(1-x^m)^{-1/n} x^{m-1}\,dx\!$
$\displaystyle =m\int _{0}^{1}x^{1-m+m-1}(1-x^m)^{-1/n} \,dx\!$
$\displaystyle =m\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^m}}$

ガンマ関数との関係式より、
$\displaystyle {\mathrm B}(1/m,1-1/n)=\frac{\Gamma(1/m)\Gamma(1-1/n)}{\Gamma(1+1/m-1/n)}$
$=\dfrac{m\Gamma(1+1/m)\Gamma(1-1/n)}{\Gamma(1)\Gamma(1+1/m-1/n)}$
( $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ と $\Gamma(1)=1$ より)
ここでガンマ関数の無限乗積表示より(ガンマ関数の積の比の無限積表示・多変数ベータによる表示 - 数学大好き宣言！の(1)の最後の式より)
$\dfrac{m\Gamma(1+1/m)\Gamma(1-1/n)}{\Gamma(1)\Gamma(1+1/m-1/n)}=m\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(k+1+1/m-1/n)}{(k+1+1/m)(k+1-1/n)}$
$=m\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(mnk+mn+n-m)}{(mk+m+1)(nk+n-1)}$
結局、次の式が得られた。
$\displaystyle m\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^m}}=m\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(mnk+mn+n-m)}{(mk+m+1)(nk+n-1)}$
辺々mで割って
$\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^m}}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(mnk+mn+n-m)}{(mk+m+1)(nk+n-1)}$
(証明終)

これがウォリス積の一般化になっていることを見よう。m=n=2のとき、
$\displaystyle \frac{\pi}{2}= \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(4k+4)}{(2k+3)(2k+1)}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(2k+2)^2}{(2k+3)(2k+1)}$
となり無事ウォリス積が得られた。
さらに、有名なレムニスケート周率のウォリス積類似も得られる。m=4, n=2のとき、
$\displaystyle \frac{\varpi}{2} =\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(8k+6)}{(4k+5)(2k+1)}$
9/16 もう少し変形した方が綺麗かつ興味深い。
$\displaystyle \frac{\varpi}{2} =\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(8k+6)}{(4k+5)(2k+1)}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(4k+4)(4k+3)}{(4k+5)(4k+2)}$