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代数関数の積分の不思議な等式

数学 ガンマ関数

示したいこと：a>1が自然数のとき、
\displaystyle a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}
高次元の曲線の積分が、πの円分数倍になるのが不思議。

＜証明＞
ベータ関数とは
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (a,b)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\!}
で定義される関数である。
\displaystyle{\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})を求める。
t=x^a と置換積分する。t:0～1のときx:0～1 で、 \frac{dt}{dx} = ax^{a-1}だから、
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=a\int _{0}^{1}(x^a)^{1/a-1}(1-x^a)^{-1/a} x^{a-1}\,dx\!}
\displaystyle =a\int _{0}^{1}x^{1-a+a-1}(1-x^a)^{-1/a} \,dx\!
\displaystyle =a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}

一方、
\displaystyle {\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=\dfrac{\Gamma(\frac{1}{a})\Gamma(1-\frac{1}{a})}{\Gamma(1)}=\Gamma(\frac{1}{a})\Gamma(1-\frac{1}{a})
だから、ガンマ関数の相反公式より、{\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}
よって、
\displaystyle a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}
結局、
\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{a \sin (\pi/a)}
例えばa=6のとき
\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[6]{1-x^6}}=\dfrac{\pi}{6 \sin (\pi/6)}=\frac{\pi}{3}
左辺の高度な積分が、πの簡単な式に帰着されるのはなんだか不思議だ。
式だけ見ると高校数学にも出てきそうだが、高校数学レベルの証明(=ガンマ関数を経由しない証明)は存在するのだろうか？