ガウス積分の一般化とフェルマー多様体

ガウス積分とは $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ のこと。
これは $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\frac{{\sqrt {\pi }}}{2}$ とも書ける。
この一般化として $I(n)={\displaystyle \int _{0 }^{\infty }e^{-x^{n}}\,dx}$ を求めよう。
$x=\sqrt[n]{t}$ とおくと、
$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}$
よって
$I(n)=\displaystyle \frac{1}{n}\int_0^{\infty} t^{\frac{1}{n}-1} e^{-t} dt =\frac{1}{n}\Gamma(\frac{1}{n})$
既におもしろいが、さらにこれを代数関数の積分を使って表示する。
$\Gamma(1/n) ^n=\dfrac{\Gamma(1/n) ^n}{\Gamma(1)} = B(1/n,\cdots,1/n)$ (n変数)
ただしBは多変数ベータ関数。
多変数ベータ関数の積分表示(フェルマー多様体の積分の多変数ベータ関数による表示 - 数学大好き宣言！の最後の式)
より、
$\Gamma(1/n) ^n=\displaystyle n^n\int_{t_1,\cdots,t_n>0} t_n dt_1 \cdots dt_{n-1}$
(ただし ${t_1}^n+\cdots+{t_n}^n=1$ )
よって
$\displaystyle \int _{0 }^{\infty }e^{-x^{n}}\,dx = \frac{1}{n}\Gamma(1/n)= ({\int_{t_1,\cdots,t_n>0} t_n dt_1 \cdots dt_{n-1}})^{1/n}$
(ただし ${t_1}^n+\cdots+{t_n}^n=1$ )
これはフェルマー多様体上の積分になっている。
これがガウス積分の一般化になっていることを確かめておく。n=2のとき右辺は
$\displaystyle \sqrt{\int_{x,y>0}ydx}=\sqrt{\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$