・K(k)をモジュラスkの第一種完全楕円積分,K'(k)=K(√(1-k))とする。K(λ)/K'(λ)=pK(k)/K'(k) (pは素数) を満たすときのλ^2, k^2の関係式は、ほとんどすべての素数ではp+1次だが、p=5,7,11のときに限りp次だという。ガロアが見つけたらしい。ところで、PSL(2,F…

p進解析を勉強した。↓メモ↓問題 p進数の世界でも、指数関数exp(x)や対数関数log(x), 三角関数sin(x)などを考えられるだろうか？この問題をどのように考えるか。1つのアプローチとして、冪級数を考えて(例えばexp(x)ならを考えて)、これがある範囲でp進収束す…

・http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2019_2/kashikojima_lecture/lecture.pdf←「虚数乗法論とreciprocity」というpdf. 類体論のおもしろい具体例がたくさん載っていたり、ｐ進数、アデールイデール、ガロア群の幾何学的イメージなどいろいろ述…

・らしい。y=1/x^2, x^2=1/y の変数変換で移りあうようだ。 ・ベータ関数の公式より、一般のフェルマー曲線の周期をΓ関数で表すことができる。 ・K'/Kが√rになるときの楕円積分はガンマ関数で表せることを、chowlaとselbergが示した。例： r=1のとき r=5のと…

(ただしはポッホハマー記号)とおくと、これは隣接関係式と呼ばれる次の2式を満たす： これらを示す。 一番目の式： まず、 さらに、 以上より をかけてn=1から∞まで和をとって二番目の式は簡単。前回↓ 超幾何級数と連分数(₀F₁の場合) - 数学大好き宣言！ で…

前回↓mochi-mochi61.hatenablog.com 今回は電位・電位差との関係を考える。 頂点での電位がであるとする。このときとする。 にの転置行列をかけてみよう。 だから、素直にを計算すると、の第j成分は の定義は、なら1,なら-1,どちらでもないなら０というもの…

・算術幾何平均を使った円周率の近似：a_0=1, b_0=1/√2, S_0=1/4, a_{n+1}=(a_n+b_n)/2, b_{n+1}=√(a_n+b_n), S_{n+1}=S_n+2^n(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)とおくと、n→∞のときS_n→πらしい。 ・漸化式a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_nを満たす数列a_nにおいて、b_n=a_{n+1}/a…

(ただしはポッホハマー記号) とおくと、これは隣接関係式と呼ばれる次の関係式を満たす： 証明： ここで、 だから、 よって 両辺のn=1から∞までの和をとって よって この隣接関係式の両辺をF(a;z)でわり、 よって よってF(a;z)/F(a-1;z)=g(a), z/{(a-1)a}=k(…

電流をグラフ理論的に。 グラフ理論における「グラフ」とは、下のような、頂点を辺でつないだもののこと。 グラフの例回路はグラフと見なせる。このとき回路素子はひとつの辺に最高一つになるようにする。例えば下のように↓ グラフ化このようにして回路はグ…

ゼータ関数と数論的関数の関係、特に反転公式とゼータ関数の関係がおもしろい。 まずディリクレ級数の積を計算しておく。 だから、この積のの係数をとおくと、 とおく。次に約数関数d(n), メビウス関数μ(n)を導入する。 定義 (1)d(n)=(nの約数の個数)を約数…

・ｆを閉リーマン面X上の有理型関数、ｇを閉リーマン面からそれ自身への正則写像とすると、fとｇの合成もX上の有理型関数だから、Xの関数体に属する。よってｆとの代数的な関係式をもつ。例：モジュラー群の基本領域はリーマン球面と見なせ、PSL(2,R)による…

集合Aの要素数を|A|で表す。 いま|A|,|B|,|A∩B|が分かっているときに、|A∪B|を求めたいとする。 このとき下のようなベン図を書いて|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|が分かる。 三つの場合、つまり|A∪B∪C|が求めたい場合も同様にベン図から分かる。 しかし４つ以上になる…

(3/3) ・群は代数的構造を忘れると集合である。同様に群の圏の代数的構造を忘れさせることで集合の圏への関手が作れるらしく、これを忘却関手というらしい。そのまんまだ。 ・位数ｐの有限体のガロア群がｐ乗で生成されることを示す。有限体𝔽pの有限次拡大K…

でfのn回合成を表すとする。例えばというように。 f(x)を多項式、a,bを自然数としたとき、はを割り切る。これを示す。 で有理係数多項式全体を表す。 を で生成される のイデアルとする。を示せばよい。 (のb回合成) よってだから、示された。 この証明方法…