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ガンマ関数の積の比の無限積表示・多変数ベータによる表示

数学 ガンマ関数

\displaystyle \frac{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\cdots \Gamma(a_m)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\cdots\Gamma(b_n)}
(a_i, b_i\in{\mathbb C},　a_1+\cdots +a_m =b_1+\cdots +b_n)
について(1)無限積表示(2)多変数ベータ関数の比による表示を導く。

(1)ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限積表示とは、
\displaystyle\Gamma(z)=z^{-1}\exp(-\gamma z)\prod_{k=1}^{\infty}(1+z/k)^{-1}\exp(z/n)
のこと。ただしγはオイラーの定数。
※この積は絶対収束する。つまり積の順序交換ができる。
a_1+\cdots +a_m =b_1+\cdots +b_nのとき、
ワイエルシュトラスの無限乗積表示より、
\displaystyle \frac{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\cdots \Gamma(a_m)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\cdots\Gamma(b_n)}
=\displaystyle \frac{b_1\cdots b_n}{a_1\cdots a_m}\exp(-\gamma(a_1+\cdots+a_m-b_1-\cdots-b_n))
\displaystyle \times \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(1+b_1/k)\cdots(1+b_n/k)}{(1+a_1/k)\cdots(1+a_m/k)}\exp(\frac{a_1+\cdots+a_m-b_1\cdots-b_n}{n})
=\displaystyle\frac{b_1\cdots b_n}{a_1\cdots a_m} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(1+b_1/k)\cdots(1+b_n/k)}{(1+a_1/k)\cdots(1+a_m/k)}
さらにm≥nのときには
=\displaystyle\frac{b_1\cdots b_n}{a_1\cdots a_m} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^{m-n}(k+b_1)\cdots(k+b_n)}{(k+a_1)\cdots(k+a_m)}
とくにm=nのときには
\displaystyle \frac{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\cdots \Gamma(a_m)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\cdots\Gamma(b_m)}=\displaystyle\frac{b_1\cdots b_m}{a_1\cdots a_m} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(k+b_1)\cdots(k+b_m)}{(k+a_1)\cdots(k+a_m)}
=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+b_1)\cdots(k+b_m)}{(k+a_1)\cdots(k+a_m)}
(0からの積にできる)

(2)a_1+\cdots +a_m =b_1+\cdots +b_nより、
\displaystyle \frac{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\cdots \Gamma(a_m)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\cdots\Gamma(b_n)}
\displaystyle =\frac{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)\cdots \Gamma(a_m)}{\Gamma(a_1+\cdots +a_m)}\frac{\Gamma(b_1+\cdots +b_n)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\cdots\Gamma(b_n)}
=\dfrac{{\mathrm B}(a_1,\cdots ,a_m)}{{\mathrm B}(b_1,\cdots,b_n)}