p進整数環上のmod - 数学大好き宣言！

p進整数環の基礎知識については以下にまとまっている。
https://mathematics-pdf.com/pdf/p_adic_field.pdf

p進整数環においてmodを考える。
定義
$a,b\in{\mathbb Z}_p,~~ n\in {\mathbb N}$ に対して、
$a \equiv b \mod p^n$ を $a-b\in p^n {\mathbb Z}_p$ で定義する。
定理
(1) $a \equiv b, c \equiv d \mod p^n$ ならば $a+c \equiv b+d , ac \equiv bd \mod p^n$
(2)fを ${\mathbb Z}_p$ 係数多項式とすると、
$a \equiv b \mod p^n \Rightarrow f(a) \equiv f(b) \mod p^n$
証明：
(1) $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\in p^n {\mathbb Z}_p,~~ \\ ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+ b(c-d)\in p^n {\mathbb Z}_p$
(2)加法と乗法を保つから。

定理
${\rm ord}_p(a) \geq n \Leftrightarrow a\equiv 0 \mod p^n$
証明
${\rm ord}_p(a) \geq n \Leftrightarrow |a|_p \leq p^{-n} \Leftrightarrow a\in p^n {\mathbb Z}_p \Leftrightarrow a\equiv 0 \mod p^n$ .

なお、 ${\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z}$ は ${\mathbb Z}_p/p^n{\mathbb Z}_p$ と同型であることが知られている。