微分方程式と整数論(不定方程式)

特定の線形微分方程式の解空間の次元に、ディオファントス方程式の整数解の個数が現れてくる話。
$\displaystyle (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2})f = \lambda f$ (λは定数)を、周期的境界条件 $f(x+2\pi ,y)=f(x, y+2\pi) =f(x,y)$ のもと解こう。
周期関数だから、fをフーリエ級数展開して $f(x,y)=\sum_{k,l \in {\mathbb Z}} a_{k,l} e^{i(kx+ly)}$ 　とおき、両辺に代入すると
$\sum_{k,l \in {\mathbb Z}} a_{k,l}(-k^2 - l^2) e^{i(kx+ly)} = \sum_{k,l \in {\mathbb Z}} \lambda a_{k,l} e^{i(kx+ly)}$
係数を比較して　 $a_{k,l}(-k^2 - l^2)=\lambda a_{k,l}$
よって $a_{k,l}=0$ または $k^2 + l^2 =-\lambda$
${k^2+l^2 = -\lambda}$ の解は有限個だから、
一般解は
$f(x)=\displaystyle \sum_{k^2+l^2 = -\lambda} a_{k,l} e^{i(kx+ly)}$
ただし $a_{k,l}$ は任意定数。（有限なので、収束は考えなくてよい）
よって解空間の次元は $k^2+l^2 = -\lambda$ の整数解の個数に一致する！(固有値λに対応する固有空間の次元と言っても同じ)（もちろんλが非正整数のとき以外は解なし。）

一般化しておく。
$P(X_1,\cdots, X_n)$ を多項式とし、各 ${X_j}^m$ を $i^{-m} \frac{\partial^m }{\partial {x_j}^m}$ に置き換え、定数を定数倍作用素に置き換えた作用素を
$P(\frac{\partial }{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial }{\partial x_n})$ と書く。
(例) $X^2+Y^2+\lambda \rightarrow -\frac{\partial^2 }{\partial x^2} -\frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \lambda$
$X^3 +XY +2Y -2 \rightarrow (i^{-3})\frac{\partial^3 }{\partial x^3} +i^{-2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y} +2i^{-1}\frac{\partial }{\partial y} - 2$

定理：微分方程式 $P(\frac{\partial }{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial }{\partial x_n})f=0$ の、周期的境界条件 $f(x_1,\cdots,x_j +2\pi ,\cdots ,x_n)=f(x_1,\cdots, x_n)$ のもとでの解のなすベクトル空間の次元は、 $P(X_1,\cdots, X_n)=0$ の整数解が有限個なら、その個数。

証明：全く同じ方針。fをフーリエ級数展開して、 $i^{-1}\frac{\partial }{\partial x_j}e^{i(k_1x_1+\cdots +k_nx_n)}=i^{-1}ik_j=k_j$ に注意して微分方程式に代入すると、
$a_{k_1,\cdots,k_n} P(k_i,\cdots,k_n)=0$ 　(ただし $a_{k_1,\cdots,k_n}$ はフーリエ係数)
よって一般解は $\sum_{P(k_i,\cdots,k_n)=0}a_{k_1,\cdots,k_n}e^{i(k_1x_1+\cdots +k_nx_n)}$ ( $a_{k_1,\cdots,k_n}$ は任意定数)
よって次元は $P(k_i,\cdots,k_n)=0$ の整数解の個数。