吸引的固定点 - 数学大好き宣言！

漸化式の極限を調べるとき、固定点に当たりをつけるのは常套手段だが、どんなとき固定点に収束するのだろうか。
今日の定理は、その点での微分が1より小さい固定点なら、近くの点を自分に収束させるというものだ。
$D\subset {\mathbb C}$ を領域とする。
$f(z):D \rightarrow {\mathbb C}$ を複素関数とし、 $a\in D$ はfの固定点、つまり $f(a)=a$ を満たすとする。
このとき、点aでfが微分可能で、 $|f'(a)|\lt 1$ ならば、あるδ>0が存在して、 $|z-a|\leq \delta$ ならば $f^n(z)$ はaに収束する。
※このような固定点は吸引的固定点と呼ばれる。

証明： $|f'(a)|\lt 1$ だから、 $|f'(a)|+\varepsilon_0 \lt 1$ となるようなε₀>0がとれる。
条件より、 $\lim_{z\rightarrow a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}=f'(a)$ だから、
この $\varepsilon_0$ に対してあるδ>0が存在して、
$0<|z-a|<\delta$ ならば $|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)| \lt \varepsilon_0$ .
f(a)=aと三角不等式より
$\frac{|f(z)-a|}{|z-a|} - |f'(a)| \lt \varepsilon_0$
よって
$|f(z)-a|\lt (|f'(a)|+\varepsilon_0) |z-a|$
$|z-a|\lt \delta$ のとき、 $|f'(a)|+\varepsilon_0 \lt 1$ より
$|f(z)-a|\lt (|f'(a)|+\varepsilon_0) |z-a| \lt \delta$ だから、
不等式は繰り返し適用できて
$|f^n(z)-a| \lt (|f'(a)|+\varepsilon_0)|f^{n-1}(z)-a| \lt \cdots \lt (|f'(a)|+\varepsilon)^n |z-a|$
$(|f'(a)|+\varepsilon_0)<1$ だから右辺は0に収束。よって左辺も0に収束する。
よって $\lim_{n \rightarrow \infty} f^n(z) =a$