【コラッツ予想】ループの考察

$f(x)=x/2$ , $g(x)=3x+1$ とする。
$(f \circ g \circ f \circ f \circ g)(x)$ などを縮めて文字列で $fgffg(x)$ などと書き、
これを「fとgからなる文字列がxに作用している」と見なす。
fとgからなる有限の文字列全体の集合を $\Lambda$ とおく。
$\lambda \in \Lambda$ に対して、
$|\lambda|$ を $\lambda$ の長さ、 $|\lambda|_f$ を $\lambda$ に含まれるfの個数、 $|\lambda|_g$ を $\lambda$ に含まれるgの個数とする。
さて、 $f(ax+b)=\frac{a}{2}x+ \frac{b}{2} = \frac{a}{2}x + f(b),$
$g(ax+b)=(3a)x + (3b+1)= (3a)x + g(b)$ だから、
$\lambda(x)=\dfrac{3^{|\lambda|_g}}{2^{|\lambda|_f}} x + \lambda(0)$ .

自然数xがコラッツ予想の操作でループするならば、ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して $\lambda(x)=x$ となる。
つまり $\dfrac{3^{|\lambda|_g}}{2^{|\lambda|_f}} x + \lambda(0) =x$ .
これを解いて
$x=\dfrac{2^{|\lambda|_f} \lambda(0)}{2^{|\lambda|_f} - 3^{|\lambda|_g}}$
元の問題通り自然数の範囲で考えるなら、 $2^{|\lambda|_f} \gt 3^{|\lambda|_g}$ でなくてはならない。両辺の自然対数をとって $|\lambda|_f \gt \frac{\log 3}{\log 2}|\lambda|_g$
なかなか面白い不等式が導けてうれしい。
さて、 $2^{|\lambda|_f} \lambda(0)$ は自然数である。なぜなら、 $\lambda$ の作用は2で $|\lambda|_f$ 回しか割っていないから、約分せずに計算してもλ(0)の分数としての分母は $2^{|\lambda|_f}$ となるからだ。
よってxが整数になるのは、 $2^{|\lambda|_f} - 3^{|\lambda|_g}$ が $2^{|\lambda|_f} \lambda(0)$ を割り切るときである。
$2^{|\lambda|_f} - 3^{|\lambda|_g}=1$ のときには、この条件は自明に満たされる。
$2^m - 3^n =1$ の解は $m=2,~n=1$ しか無いことが知られているので、 $|\lambda|_f=2, ~|\lambda|_g = 1$ のケースを計算してみよう。
このとき $\lambda=ffg,~fgf,~gff$ で、
$\lambda(0)$ はそれぞれ $1/4,~1/2,~1$ だから、
xはそれぞれ $1,2,4$ である。
これはコラッツ予想の唯一と考えられているサイクル $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ に対応している。

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

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