ライプニッツの公式を、二項定理で証明する方法を思いついた。 偏微分による証明と、それを改良したテンソル積による証明を思いついた。 偏微分による証明 テンソル積による証明 偏微分による証明 、、 、 とする。 であり、連鎖律より つまり よって ここで…

Rを非可換環とする。A,X,YをRの元とし、を で定める。 このとき、 こんな単純な計算がライプニッツ則を満たすとは、意外でおもしろい。 証明も微分のそれと少し似ている。微分のライプニッツ則の証明：

をe^xをかける線形作用素とし、をxで1回微分する線形作用素とする。このとき、 (ただしＩは恒等作用素) よってだから、二項定理より、作用素のなす環の二項定理で、ライプニッツの公式による結果 を導けた。次は二項定理でライプニッツの公式を完全証明した…

圏論を使うと、異なる理論の異なる(が考え方が似ている)概念を、統一的に見ることができる。 例えば、群論における群の直積と、位相空間論の直積位相は、群の圏と位相空間の圏の、それぞれでの「圏論的積」というものになっている。 同様の例： ・集合の圏の…

. 一方だから、ライプニッツの公式より、 よって これは二項定理になっている。ちょっとおもしろい。

ベクトルのウェッジ積とは、双線型な演算で、を満たすもののこと。 このとき、より、が成り立つ(交代性)。 二次元のとき、とおくと、 じつは一般に、n本のn次元ベクトルについて、 が成り立つ。 これは、行列式は列に関する多重線形性, 交代性, そしてで特徴…

テンソル積は、すべての多重線形写像のもとになるという性質がある。 行列式は列に関する多重線形性がある多重線形写像だから、テンソル積から構成することができる。テンソル積の普遍性 ：ベクトル空間とする。テンソル積は、次の「普遍性」をもつ： φを と…

を数列とする。 数列a_nのOGF(ordinary generating function)とは, のこと。 数列a_nのEGF(exponential generating function)とは、 のこと。 からを、またからを求めるには、次のようにする： 実際、 であるし、 置換積分でt=-e^{iθ}とおくと (ただしCは、…