数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

トップ > 数学 > 多変数ベータ関数、ガンマ関数との関係

多変数ベータ関数、ガンマ関数との関係

数学 ガンマ関数

nを自然数とする。多変数ベータ関数とは
\displaystyle B(x_1, \cdots , x_n) =\int_{t_1,\cdots,t_n>0} {t_1}^{x_1 - 1} \cdots {t_n}^{x_n - 1} dt_1 \cdots dt_{n-1}
(ただしt_n=1 - t_1 - \cdots -t_{n-1})
これは通常のベータ関数同様、次のガンマ関数による表示をもつ：
B(x_1, \cdots , x_n)=\dfrac{\Gamma(x_1) \cdots \Gamma(x_n)}{\Gamma(x_1 + \cdots + x_n)}
証明)
\Gamma(x_1) \cdots \Gamma(x_n)
=\displaystyle \int_0^{\infty} {t_1}^{x_1 -1} e^{- t_1} \cdots \int_0^{\infty} {t_n}^{x_n -1} e^{- t_n}
=\displaystyle \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} {t_1}^{x_1 - 1} \cdots {t_n}^{x_n - 1} e^{-t_1-\cdots -t_n} dt_1 \cdots dt_n
ここで変数変換をする。
\Phi (t_1 , \cdots , t_n)= (u, v_1, \cdots, v_{n-1}),ただし
u=t_1+\cdots + t_n, \\v_1~~~~=t_1/u, \\ ~~~~~~~~~\vdots \\ v_{n-1}=t_{n-1}/u
。
また、v_n = t_n/u とおく。
D= (0,\infty)^n ,　 E = \{u, v_1, \cdots , v_{n-1} | u, v_1, \cdots , v_{n} >0\}
とおく.ΦはDからEへの関数で、Φは一対一対応であることを示す。
(t_1, \cdots ,t_n) \in Dのとき、定義式より\Phi (t_1 , \cdots , t_n) \in E.
よってΦはDからEへの関数である。
次に一対一対応であることを、逆写像を構成することで示す。
u-uv_1 - \cdots - uv_{n-1}=u - t_1 - \cdots -t_{n-1} = t_n =uv_n
より、uv_nはu,v_1,\cdots, v_{n-1}で表せる。よって、
t_k= uv_k (k=1～n)
とおくとこれはΦのℝⁿ上の逆関数であって、
(u,v_1,\cdots, v_{n-1}) \in E のとき、式から直ちに(t_1,\cdots,t_n) \in Dがわかる。
よってこれはEからDへのΦの逆関数である。
よって逆関数が存在するからΦは一対一対応。

つぎにヤコビアンを計算する。

\frac{\partial t_i}{\partial u}=v_i,
i≤ n-1 のとき
\frac{\partial t_i}{\partial v_j}= u \delta_{ij}
i=n のとき
\frac{\partial t_n}{\partial v_j}= \frac{\partial}{\partial v_j}(u-uv_1-\cdots-uv_{n-1})=-u

よってヤコビ行列は
{\begin{pmatrix}\frac{\partial t_1}{\partial v_1}&\frac{\partial t_1}{\partial v_2}&\cdots &\frac{\partial t_1}{\partial v_{n-1}}&\frac{\partial t_1}{\partial u}\\\frac{\partial t_2}{\partial v_1}&\frac{\partial t_2}{\partial v_2}&\cdots &\frac{\partial t_2}{\partial v_{n-1}}&\frac{\partial t_2}{\partial u}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots&\vdots \\\frac{\partial t_n}{\partial v_1}&\frac{\partial t_n}{\partial v_2}&\cdots &\frac{\partial t_n}{\partial v_{n-1}}&\frac{\partial t_n}{\partial u}\end{pmatrix}}
={\begin{pmatrix}u&0&\cdots &v_1\\0&u&\cdots &v_2\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-u&-u&\cdots &v_n\end{pmatrix}}
よってヤコビアンを計算すると、
u^{n-1}(v_1+\cdots v_n)=u^{n-1}
よって
\displaystyle \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} {t_1}^{x_1 - 1} \cdots {t_n}^{x_n - 1} e^{-t_1-\cdots -t_n} dt_1 \cdots dt_n
=\displaystyle \int_E {(uv_1)}^{x_1 - 1} \cdots {(uv_n)}^{x_n - 1} e^{-u} u^{n-1} du dv_1 \cdots dv_{n-1}
E'=\{ v_1, \cdots , v_{n-1} | v_1, \cdots , v_{n} >0\}とおくと、
E=E'\times \{u\in {\mathbb R}|u>0\}だから
この積分は
\displaystyle \int_0^{\infty}u^{x_1+\cdots +x_n-n+n-1}e^{-u}du\int_E {v_1}^{x_1-1}\cdots{v_n}^{x_n-1}dv_1\cdots dv_{n-1}
=\Gamma(x_1+\cdots ＋x_n)B(x_1,\cdots ,x_n)
よってB(x_1, \cdots , x_n)=\dfrac{\Gamma(x_1) \cdots \Gamma(x_n)}{\Gamma(x_1 + \cdots + x_n)}