p進解析(3)一致の定理 - 数学大好き宣言！

p進解析(1)冪級数の収束半径 - 数学大好き宣言！
p進解析(2)冪級数の原点での連続性 - 数学大好き宣言！

pを素数、 $\{a_k\}_k$ をp進数列とする。
冪級数 $S_n(\{a_k\}_k,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k t^k$
は $t\in p^v {\mathbb Z}_p$ (vはある整数)のとき収束するとし、
$f:p^v{\mathbb Z}_p \rightarrow {\mathbb Q}_p$ 　を　 $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} S_n(\{a_k\}_k,x)$ 　で定める。
このとき、次が成り立つ。
定理（一致の定理）：点 $x=0$ が $f(x)$ の零点の集積点ならば、 $f(x)$ は $p^v {\mathbb Z}_p$ 上恒等的に0である。
証明： $a_k \neq 0$ が存在すると仮定する。そのような最初のものを $a_N$ とし (つまり $a_0=\cdots=a_{N-1}=0$ )、
$T_n(\{a_k\}_k,x) = \displaystyle\sum_{k=N}^{n} a_k x^{k-N}$ とおくと、
$T_n = x^{-N}S_n$ だから、 $\lim_{n \rightarrow \infty} T_n$ は $x\in p^v{\mathbb Z}_p,~ x \neq 0$ のとき収束し、その値は $x^{-N}f(x)$ . また x=0 のときは有限和だから収束。
よって $p^v{\mathbb Z}_p$ 上の関数 $g(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} T_n(x)$ が定義できて、
$f(x)=x^N g(x).$
また $g(0)=a_N \neq 0$ .
$x \neq 0$ であれば $x^N \neq 0$ だから、x=0 以外の f(x) の零点はg(x)の零点でもある。よって x=0 は g(x) の零点の集積点でもある。すなわち、任意のδ>0 に対して $0\lt |x| \lt \delta$ を満たすg(x)の零点が存在する。
一方、冪級数の原点での連続性より、g(x) は x=0 で連続だから、εとして $|a_N| \neq 0$ をとると、あるδ>0 が存在して、|x|<δ ならば $|a_N - g(x)| \lt |a_N|$ . 三角不等式より $|g(x)| \gt 0$ . よって|x|<δ ならば $g(x)\neq 0$ .
これは矛盾。よって仮定「 $a_k \neq 0$ が存在する」は誤り。
よってすべてのkで $a_k=0$ であり、f(x) は恒等的に零である。