環論メモ(イデアルと剰余環) - 数学大好き宣言！

整数環におけるmodと同じことを、任意の環でも考えることができる。

１：剰余環の定義
$A$ :環, $I\subset A$ :イデアル
$a,b\in A$ に同値関係 $\sim$ を、
$a \sim b :\Leftrightarrow a-b\in I$
で定める。これが同値関係であることは、
$a-a=0\in I$ ,
$a-b\in I$ ならば $b-a=-(a-b)\in I$ ,
$a-b, b-c\in I$ ならば $a-c=(a-b)+(b-c)\in I$
から分かる。
また、 $a\sim b$ , $c\sim d$ のとき、
$(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\in I$ より $a+c\sim b+d$ ,
$ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)\in I$ より $ac\sim bd$ だから、
商集合 $A/\sim$ の同値類に演算を
$[a]+[b]=[a+b],~ [a][b]=[ab]$ で定めると、well-definedになる。
演算が結合法則・分配法則を満たすことはもとの演算の結合法則・分配法則より明白で、
$[0]$ は零元、 $[1]$ は単位元になるから、
$A/\sim$ は環になる。これを $A/I$ と書く。

２：剰余環のイデアルの構造
$A$ から $A/I$ への環準同型 $\phi$ を $\phi(a)=[a]$ で定める.
$\phi$ は全射だから、 $A/I=\phi(A)$ と書ける。
$I\subset J$ を満たす $A$ のイデアル全体を ${\mathcal I}$ ,
$A/I$ のイデアル全体を $\mathcal I'$ とする。
補題1
（１） $J\in {\mathcal I}$ なら $\phi(J) \in {\mathcal I'}$ .
（２） $J'\in {\mathcal I'}$ なら $\phi^{-1}(J') \in {\mathcal I}$ .
（３） $\phi^{-1} : {\mathcal I'} \rightarrow {\mathcal I}$ は $\phi : {\mathcal I} \rightarrow {\mathcal I'}$ の逆写像。
証明
（１） $x,y\in \phi(J),~ z\in \phi(A)$ とする。このとき $\phi(a)=x,~\phi(b)=y,~ \phi(c)=z$ を満たす $a,b\in J,~c\in A$ が存在する。
$a+b,~ ca\in J$ だから、 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)=x+y\in\phi(J)$ , $\phi(ca)=\phi(c)\phi(a)=zx \in \phi(J)$ .
よって加法とスカラー倍で閉じているから $A/I$ のイデアル。

（２） $x,y \in \phi^{-1}(J'), ~ z \in A$ とする。このとき $\phi(x), \phi(y) \in J'$ だから、
$\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y) \in J'$ , $\phi(zx)=\phi(z)\phi(x) \in J'$ .
よって $x+y, zx \in \phi^{-1}(J')$ . よって加法とスカラー倍で閉じているから $A$ のイデアル。
また $0_{A/I}$ を $A/I$ のイデアルとすると、 $\phi^{-1}(J') \supset \phi^{-1}(\{ 0_{A/I} \})=I$ .

（３） $\phi$ は全射だから、 $\phi^{-1} \circ \phi(J) = J$ .

とてもきれいな対応だ。集合論で綺麗に示せるのも楽しい。