フェルマー多様体の積分の多変数ベータ関数による表示

フェルマー多様体とは、m,nを自然数として
${x_1}^m+\cdots+{x_n}^m=1$
という代数多様体のこと。n=2のときこれはフェルマー曲線
$x^m+y^m=1$
となる。
m=2のときこれは超球面
${x_1}^2+\cdots+{x_n}^2=1$
となる。
多変数ベータ関数とは
$\displaystyle B(a_1, \cdots , a_n) =\int_{t_1,\cdots,t_n>0} {t_1}^{a_1 - 1} \cdots {t_n}^{a_n - 1} dt_1 \cdots dt_{n-1}$
(ただし $t_n=1 - t_1 - \cdots -t_{n-1}$ )
のこと。
$t_i={x_i}^{p_i}(i=1,\cdots,n-1)$
と変数変換する。
積分範囲は変化せず、
$\frac{\partial t_i}{\partial x_i}=p_i {x_i}^{p_i - 1}$ , i≠jのとき $\frac{\partial t_i}{\partial x_j}=0$
だから、ヤコビアンは
$\prod_{i=1}^{n-1}p_i {x_i}^{p_i - 1}$
よって
$\displaystyle B(a_1,\cdots,a_n)=\int_{x_1,\cdots,x_{n-1},t_n>0}{t_n}^{a_n-1} (\prod_{i=1}^{n-1}p_i {x_i}^{p_i(a_i - 1) + p_i - 1})dx_1 \cdots dx_{n-1}$
$=\displaystyle (\prod_{i=1}^{n-1}p_i) \int_{x_1,\cdots,x_{n-1},t_n>0}{t_n}^{a_n-1} (\prod_{i=1}^{n-1}{x_i}^{p_i a_i -1})dx_1\cdots dx_{n-1}$
(ただし $t_n=1-{x_1}^{p_1}\cdots -{x_{n-1}}^{p_{n-1}}$ )

ここで $t_n={x_n}^{p_n}$ とおけば ${x_1}^{p_1}+\cdots+{x_n}^{p_n}=1$ であって、積分範囲に気を付けて
$\displaystyle B(a_1,\cdots,a_n)=(\prod_{i=1}^{n-1}p_i) \int_{x_1,\cdots,x_{n},>0} (\prod_{i=1}^{n-1}{x_i}^{p_i a_i -1}){x_n}^{p_n a_n - p_n}dx_1\cdots dx_{n-1}$
という ${x_1}^{p_1}+\cdots+{x_n}^{p_n}=1$ 上の積分になる。
さらに $p_1=\cdots=p_n$ とすればフェルマー多様体の積分になる。

別の形も導いておく。
ベータ関数のガンマ関数表示から直ちに得られる等式より
$B(a_1,\cdots,a_n)=\frac{a_1+\cdots+a_n}{a_n}B(a_1,\cdots, a_n+1)$
$\displaystyle =\frac{a_1+\cdots+a_n}{a_n}(\prod_{i=1}^{n-1}p_i) \int_{x_1,\cdots,x_{n}>0} (\prod_{i=1}^{n-1}{x_i}^{p_i a_i -1}){x_n}^{p_n a_n }dx_1\cdots dx_{n-1}$
$\displaystyle =\frac{a_1+\cdots+a_n}{a_n}(\prod_{i=1}^{n-1}p_i) \int_{x_1,\cdots,x_{n}>0} (\prod_{i=1}^{n}{x_i}^{p_i a_i -1}){x_n}dx_1\cdots dx_{n-1}$
特に、
$B(1/p_1,\cdots,1/p_n)\displaystyle =({\sum_{i=1}^n 1/p_i})(\prod_{i=1}^{n}p_i) \int_{x_1,\cdots,x_{n}>0} {x_n}dx_1\cdots dx_{n-1}$
$({x_1}^{p_1}+\cdots +{x_n}^{p_n}=1)$

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

フェルマー多様体の積分の多変数ベータ関数による表示