環論メモ（準素イデアル） - 数学大好き宣言！

A:環
定義(準素イデアル)
イデアル $Q$ が、条件：
$a,b \in A, ab \in Q ,a\not\in Q \Rightarrow \exists n\in {\mathbb N} ~s.t.~b^n\in Q$
を満たすとき、 $Q$ は準素イデアルであるという。

例1 $A={\mathbb Z},~Q=p^k{\mathbb Z}$ (pは素数) とするとこれは準素イデアル。
証明： $ab\in p^k{\mathbb Z},~a\not\in p^k{\mathbb Z}$ とする。
$ab \in p^k{\mathbb Z}$ より、ある $c \in {\mathbb Z}$ があって $ab=p^k c$
背理法で示す。任意の自然数mで $b^m \not\in p^k{\mathbb Z}$ だとする。
$b$ がpの倍数なら、 $b^k \in p^k{\mathbb Z}$ となってしまうから、 $b$ は $p$ の倍数ではない。
よって $ab=p^k c$ より $a$ は $p^k$ の倍数だから、 $a\in p^k{\mathbb Z}.$ これは矛盾。よって示された。

準素イデアルから素イデアルを作りたい。

定義(根基)
イデアル $I\subset A$ の根基 $\sqrt{I}$ とは、
$\sqrt{I}=\{a\in A|\exists n\in {\mathbb N}~s.t.~ a^n \in I \}$
定理：根基はイデアル。
$a,b\in\sqrt{I},~ c\in A$ とする。条件よりある $m,n$ が存在して $a^m,b^n \in I$ .
よって $(ca)^m = c^m a^m \in I$ だから、 $a \in \sqrt{I}$ .
また、 $(a+b)^{m+n}=\sum_{i=1}^{m+n} \binom{m+n}{i}a^i b^{m+n-i}$ で、
$i\geq m$ のとき $\binom{m+n}{i}a^i b^{m+n-i} \in I$ ,
$i \lt m$ のとき $m+n-i\gt m+n-m=n$ だから、 $\binom{m+n}{i}a^i b^{m+n-i} \in I$ .
よって $(a+b)^{m+n}=\sum_{i=1}^{m+n} \binom{m+n}{i}a^i b^{m+n-i} \in I$ .
よって示された。

定理
$Q$ が準素イデアルならば、 $\sqrt{Q}$ は素イデアル。
証明：
$ab\in \sqrt{Q}, a\not\in \sqrt{Q}$ とする。
$ab\in \sqrt{Q}$ よりあるnが存在して $a^n b^n \in Q$ .
また $a\not\in \sqrt{Q}$ より $a^n \not\in Q$ .
$Q$ は準素イデアルだから、あるmが存在して $(b^{n})^m = b^{mn} \in Q$ .
よって $b\in \sqrt{Q}$ . よって素イデアルの定義を満たす。

よくできているなぁ。