をアーベル群とする。（演算を加法的に書く。） を逆元に移す写像は自己同型である。また、 を , で定めると、 これは準同型である。よって半直積が定まる。 これはどんな群だろうか。とすると、 よって、 のときは 加法になる。 のときは 引き算になる。ま…

を群とする。同型写像の全体をと書くと、これは写像の合成に関して群をなす。 証明： 写像の合成だから結合律を満たす。 単位元は、恒等写像である。 の逆元はだが、であることを示す。準同型であることを示せばよい。だから、両辺のをとって. よって準同型…