群の外部半直積

を群とする。同型写像の全体をと書くと、これは写像の合成に関して群をなす。
証明：
写像の合成だから結合律を満たす。
単位元は、恒等写像である。
の逆元はだが、であることを示す。準同型であることを示せばよい。だから、両辺のをとって. よって準同型。
以上より、群である。

定義(半直積)
G,Hを群とする。 をある準同型とする。
を、とも書くとする。準同型だからである。
半直積 とは、
直積集合 に次の演算を入れた群である：

これが群であることを確認していこう。
まず結合律。


よって結合律は成り立つ。

次に単位元の存在。で単位元を表すと、であり、
は準同型だから、は単位元、つまり恒等写像。よって.
また、
よっては単位元である。

最後に逆元の存在。群論の一般論から、右逆元の存在さえ示せばいい。が右逆元になることを示す。. よって示された。

今日はひとまずここまで。