半直積の例：二面体群 - 数学大好き宣言！

$G$ をアーベル群とする。（演算を加法的に書く。）
$g\in G$ を逆元 $-g$ に移す写像 $\phi$ は自己同型である。また、
$f:{\mathbb Z}/2{\mathbb Z} \rightarrow Aut(G)$ を $f(0)={\rm id}$ , $f(1)=\phi$ で定めると、
これは準同型である。よって半直積 $G {\rtimes}_f ~ {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ が定まる。
これはどんな群だろうか。 $(g_1,h_1),(g_2,h_2)\in G {\rtimes}_f ~ {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ とすると、
$(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1+f(h_1)(g_2),h_1+h_2).$ よって、
$h_1=0$ のときは $(g_1,0)(g_2,h_2)=(g_1+g_2, h_2).$ 加法になる。
$h_1=1$ のときは $(g_1,1)(g_2,h_2)=(g_1-g_2, 1+h_2).$ 引き算になる。

また、 $G={\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ のとき、
${\mathbb Z}/n{\mathbb Z} {\rtimes}_f ~ {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ は二面体群 $D_n$ と同型になる。
証明：
$D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,\ rs=sr^{-1}\rangle$ とする。
$\Phi:{\mathbb Z}/n{\mathbb Z} {\rtimes}_f ~ {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} \rightarrow D_n$ を、
$\Phi( (x,y) )=r^x s^y$ で定義する。
これが同型であることを示す。
$\Phi( (x_1,0)+(x_2,y) )=\Phi( (x_1+x_2,y) )\\=r^{x_1+x_2}s^y=r^{x_1}r^{x_2}s^y=\Phi( (x_1,0) )\Phi( (x_2,y) ).$
$\Phi( (x_1,1)+(x_2,y) )=\Phi( (x_1-x_2,1+y) )\\=r^{x_1-x_2}s^{1+y}=r^{x_1}r^{-x_2}s \cdot s^y$
$rs=sr^{-1}$ より、 $r^{x}s=sr^{-x}$ だから、
$r^{x_1}r^{-x_2}s \cdot s^y = r^{x_1}s r^{x_2}s^y =\Phi( (x_1,1) )\Phi( (x_2,y) ).$
以上より $\Phi$ は準同型である。
さらに、 $ker\Phi =\{(x,y)|r^x s^y = e \}\\=\{(x,y)|x \equiv 0\mod n,~~ y \equiv 0\mod2\}=\{(0,0)\}$ だから、 $\Phi$ は単射。
両辺は有限群で、位数が等しいから、単射ならば全射でもある。よって $\Phi$ は同型写像。