フェルマー多様体とは、m,nを自然数として という代数多様体のこと。n=2のときこれはフェルマー曲線 となる。 m=2のときこれは超球面 となる。 多変数ベータ関数とは (ただし) のこと。 と変数変換する。 積分範囲は変化せず、 , i≠jのとき だから、ヤコビア…

(, ) について(1)無限積表示(2)多変数ベータ関数の比による表示を導く。(1)ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限積表示とは、 のこと。ただしγはオイラーの定数。 ※この積は絶対収束する。つまり積の順序交換ができる。 のとき、 ワイエルシュトラスの無限…

nを自然数とする。多変数ベータ関数とは (ただし) これは通常のベータ関数同様、次のガンマ関数による表示をもつ： 証明) ここで変数変換をする。 ,ただし 。 また、 とおく。 , とおく.ΦはDからEへの関数で、Φは一対一対応であることを示す。 のとき、定義…

主定理：m,nが自然数で、n≠1のとき、 ベータ関数を使って示す。 ベータ関数とは で定義される関数である。 , とする。 と置換積分する。のとき で、 だから、 ガンマ関数との関係式より、 (とより) ここでガンマ関数の無限乗積表示より(ガンマ関数の積の比の…

ベータ関数とは で定義される関数。 この記事では、 ベータ関数の無限乗積表示： を示す。ベータ関数はガンマ関数と次のような関係がある： こちらのサイト様で証明が読める：ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 | 数学の景色さて、ガンマ関数には次…

rを自然数とする。, 各成分の実部は正とする。またx∊ℂとする。 このとき級数 はt∊(0,∞) で絶対収束する。 これをメリン変換して ただしζはバーンズの多重ゼータ関数と呼ばれる関数。 さて、F(t)はより変形できる。 , とすると、 これで、綺麗な積分表示が得…

f(x)=e^x とおくと、これは指数定理f(x+y)=f(x)f(y)を満たす。ここから微分方程式を導こう。 両辺をxで微分して、 f'(x+y)=f'(x)f(y). 両辺をyで微分して、 f'(x+y)=f(x)f'(y). よってf'(x)f(y)=f(x)f'(y). y=0を代入して f(0)f'(x) = f'(0)f(x). e^0=1 とf'…