指数定理・加法定理と微分方程式 (偏微分利用)

f(x)=e^x とおくと、これは指数定理f(x+y)=f(x)f(y)を満たす。ここから微分方程式を導こう。
両辺をxで微分して、
f'(x+y)=f'(x)f(y).
両辺をyで微分して、
f'(x+y)=f(x)f'(y).
よってf'(x)f(y)=f(x)f'(y).　y=0を代入して
f(0)f'(x) = f'(0)f(x).
e^0=1 とf'(0)=1 さえ求められれば、微分方程式f'(x)=f(x)を満たすことが分かる。

次に三角関数だ。sin(x)=f(x), cos(x)=g(x) とおくと、加法定理は
f(x+y)=f(x)g(y) + g(x)f(y). 両辺をx, yでそれぞれ微分して
f'(x+y)=f'(x)g(y)+g'(x)f(y)
f'(x+y)=f(x)g'(y)+g(x)f'(y)
よって、y=0を代入すれば
f'(x)g(0)+g'(x)f(0)=f(x)g'(0)+g(x)f'(0).
f(0)=sin0=0, g(0)=cos0=1 を使うと、g'(0)=A, f'(0)=B とおけば
f'(x)=Af(x) + Bg(x)
さらにg'(0)=0, f'(0)=1 も分かれば
f'(x)=g(x) つまりsin'(x)=cos(x) が分かる。