p^n|a^m-b^m となるとき - 数学大好き宣言！

$\begin{align*} &\mbox{命題} \\&a,b\mbox{は互いに素な整数,}p\not|~a,b,~~n,k\in{\mathbb N}\mbox{とする.このとき,} \\& \\&p^n|a^m-b^m,v_p(m)=p^k\mbox{となる}m\mbox{が存在する} \\&\Leftrightarrow p^n|a^{(p-1)p^k}-b^{(p-1)p^k} \\& \\&\mbox{※}v_p(m) \mbox{は}m\mbox{が}p\mbox{で割り切れる回数を表す} \\& \\&\mbox{証明} \\& p^n|a^m-b^m\mbox{のとき,}a^m-b^m\equiv 0~({\rm mod}~p^n)\mbox{だから} \\& (a/b)^m\equiv 1~({\rm mod}~p^n). \\& (a/b)\in {\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z}^{\times},\phi(p^n)=(p-1)p^{n-1}\mbox{だから,} \\&\mbox{オイラーの定理より} \\&(a/b)^{(p-1)p^{n-1}}\equiv 1~({\rm mod}~p^n) \\&\mbox{よって指数法則より任意の}x,y\in\mathbb Z\mbox{に対して} \\&(a/b)^{(p-1)mx+(p-1)p^{n-1}y}\equiv 1~({\rm mod}~p^n) \\&\mbox{互除法より}(a/b)^{(p-1)gcd(m,p^{n-1})}\equiv 1~({\rm mod}~p^n) \\&v_p(m)=k\mbox{より}(a/b)^{(p-1)p^k}\equiv 1~\mbox{だから}~a^{(p-1)p^k}-b^{(p-1)p^k}\equiv 0~({\rm mod}~p^n) \\&\mbox{逆は}m=(p-1)p^k\mbox{とすればよい.(終)} \\& \\&\mbox{例} \\&a^{p-1}-b^{p-1}\neq0~({\rm mod}~p^2)\mbox{のとき,} \\&p^2|a^m-b^m\mbox{ならば}v_p(m)\neq 0,~\mbox{つまり}~p|m. \end{align*}$