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合同ゼータ関数のオイラー積表示

①点とは準同型である
\begin{align*} &K,L\mbox{:体,}~~~K\subset L, \\&F_1,\cdots,F_n\in K[x_1,\cdots,x_m], \\&V(L)=\{(a_1,\cdots,a_m)\in L^m~|~ F_1(a_1,\cdots,a_m)=\cdots=F_n(a_1,\cdots,a_m)=0\}, \\&R=K[x_1,\cdots,x_m]/(F_1,\cdots,F_n) \\&\mbox{とする.} \\&P=(a_1,\cdots,a_m)\in V,~~\bar{f}(x_1,\cdots,x_m)\in R~~~\mbox{に対して} \\&\phi_P:R\rightarrow L,~~~\phi_P(\bar{f})=f(a_1,\cdots,a_m)~~~\mbox{とする.} \\&P\in V(L)~\mbox{よりこれはwell-definedな}K\mbox{-多元環準同型.} \\&Hom(R,L)=\{\phi:R\rightarrow L ~|~ \phi\mbox{は}K\mbox{-多元環の準同型}\} \\&\mbox{【命題】} \\&V(L)\rightarrow Hom(R,L),~~~P\mapsto \phi_P~~~\mbox{は全単射.} \\&\mbox{証明} \\&\mbox{単射性:}P,Q\in V(L),~~\phi_P=\phi_Q \mbox{のとき,} \\&P=(\phi_P(x_1),\cdots,\phi_P(x_m))=(\phi_Q(x_1),\cdots,\phi_Q(x_m))=Q \\&\mbox{より}P=Q. \\&\mbox{全射性:}\phi\in Hom(R,L)\mbox{とする.} \\&P=(\phi(x_1),\cdots,\phi(x_m))\mbox{とすると} \\&\bar{f}(x_1,\cdots,x_m)\in R~~~\mbox{に対して} \\&\phi_P(\bar{f}(x_1,\cdots,x_m))=f(\phi_P(x_1),\cdots,\phi_P(x_m)) \\&=f(\phi(x_1),\cdots,\phi(x_m))=\phi(\bar{f})~~\mbox{だから} \\&\phi_P=\phi\mbox{であり,} \\&\mbox{各}t\in\{1,\cdots,n\}\mbox{に対して} \\&F_t(\phi(x_1),\cdots,\phi(x_m))=\phi(F_t(x_1,\cdots,x_m))=\phi(0)=0. \\&\mbox{よって}P\in V(L).~~\mbox{よって}\phi_P=\phi\mbox{である}P\in V(L)\mbox{が存在する.} \\&\mbox{以上より全単射.} \end{align*}


②準同型の本数と極大イデアルの個数
\begin{align*} & p:\mbox{素数}~~~K={\mathbb F}_p~~~L={\mathbb F}_{p^k} \\&Surj(R,{\mathbb F}_{p^k})=\{\phi:R\rightarrow{\mathbb F}_{p^k} ~~|~~\phi\mbox{は全射な}{\mathbb F}_p{-代数の準同型}\}, \\&M_k=\{I\subset R ~|~ I\mbox{は極大イデアルでノルムは}p^k\} \\&\mbox{とする.} \\&\phi\in Surj(R,{\mathbb F}_{p^k})\mbox{とする.} \\&\mbox{準同型定理より}R/ker\phi \cong {\mathbb F}_{p^k}. \\&\mbox{よって}ker\phi\in M_k. \\&\mbox{逆に}I\in M_k \mbox{とする.} \\&\mbox{このとき,}R/I\cong{\mathbb F}_{p^k}. \\&\pi:R\rightarrow R/I\mbox{を射影,}~~\Phi:R/I\rightarrow{\mathbb F}_{p^k}\mbox{を同型写像とすると,} \\&\ker(\Phi\circ\pi)=I,~~~\Phi\circ\pi:R\rightarrow{\mathbb F}_{p^k}\in Surj(R,{\mathbb F}_{p^k}). \\&\mbox{よって} \\&Surj(R,{\mathbb F}_{p^k})\rightarrow M_k,~~\phi \mapsto ker\phi \\&\mbox{は全射な対応.} \\&\Phi\mbox{は}|Aut({\mathbb F}_{p^k})|=k\mbox{通りあるから,対応はn対1.} \end{align*}

③点の個数と極大イデアルの個数
\begin{align*} \\&\mbox{有限体の部分環は部分体だから(※),} \\&{\mathbb F}_{p^k}\mbox{への環準同型は}{\mathbb F}_{p^k}\mbox{のある部分体への全射準同型.} \\&{\mathbb F}_{p^k}\mbox{の部分体全体は}\{{\mathbb F}_{p^j} ~|~ j|k \}\mbox{だから,} \\&Hom(R,{\mathbb F}_{p^k})=\bigsqcup_{j|k}Surj(R,{\mathbb F}_{p^j}) ~~~(\bigsqcup\mbox{は非交和.}) \\&V({\mathbb F}_{p^k})\mbox{は有限集合であり,} \\&|V({\mathbb F}_{p^k})|=|Hom(R,{\mathbb F}_{p^k})|=\sum_{j|k}|Surj(R,{\mathbb F}_{p^j})|=\sum_{j|k}j|M_j|. \end{align*}
※→こちらの上から2番目の回答を参照https://math.stackexchange.com/questions/574367/is-any-subring-of-a-field-which-contains-the-identity-is-itself-a-subfield

④合同ゼータ関数のオイラー積表示
\begin{align*} \\&\zeta_V(u)=\exp \left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{|V({\mathbb F}_{p^k})| u^k}{k} \right) \\&\mbox{をアフィン代数多様体)}V\mbox{の合同ゼータ関数という.} \\&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{|V({\mathbb F}_{p^k})| u^k}{k} \\&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{u^k}{k}\sum_{j|k}j|M_j| \\&=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{u^{ij}}{ij}j|M_j| \\&=\sum_{j=1}^{\infty}|M_j|\sum_{i=1}^{\infty}\frac{u^{ij}}{i} \\&=\sum_{j=1}^{\infty}|M_j|(-\ln(1-u^j)) \\&=\ln\prod_{j=1}^{\infty}\left( \frac{1}{1-u^j} \right)^{|M_j|} \\&\exp \left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{|V({\mathbb F}_{p^k})| u^k}{k} \right)=\prod_{j=1}^{\infty}\left( \frac{1}{1-u^j} \right)^{|M_j|} \\& u=p^{-s}\mbox{とすると} \\&\zeta_V=\prod_{j=1}^{\infty}\left( \frac{1}{1-p^{-sj}} \right)^{|M_j|}=\prod_{I\subset R,~N(I)\lt\infty\\I\mbox{は極大イデアル}}\left( \frac{1}{1-N(I)^{-s}} \right) \\&\mbox{ただし、}N(I)=|R/I|\mbox{はノルム.}~~(R/I\mbox{の標数は}p\mbox{だから、}M_j\mbox{ですべてのノルムが有限な極大イデアルが尽くされる.}) \end{align*}