メモ：あるディリクレL関数の微分と無限積

$\displaystyle L(s)=\sum_{k=0}^{\infty}( (5k+1)^{-s} - (5k+2)^{-s} -(5k+3)^{-s} +(5k+4)^{-s})$
とする。(平方剰余なものを＋、平方非剰余のものをーで足している。)
$\frac{d}{ds}n^{-s}=-n^{-s}\log n$
だから
$\exp(-L'(0))=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(5k+1)(5k+4)}{(5k+2)(5k+3)}\\=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1/5)(k+4/5)}{(k+2/5)(k+3/5)}$
↓この記事の式より、
ガンマ関数の積の比の無限積表示・多変数ベータによる表示 - 数学大好き宣言！
$\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1/5)(k+4/5)}{(k+2/5)(k+3/5)} \\=\dfrac{\Gamma(1/5)\Gamma(4/5)}{\Gamma(2/5)\Gamma(3/5)} \\=\dfrac{\sin(4\pi/5)}{\sin(2\pi/5)} \\=\zeta +\zeta^{-1} \\(\zeta=e^{2\pi i/5})$

次に、
$S=\{2,3,4,5,6,7,8\},$
$\left( \dfrac{n}{7} \right)$ をルジャンドル記号とする。
$\displaystyle L(s)=1^{-s} + \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{a\in S}\left(\dfrac{a}{7} \right) (7k+a)^{-s}$
とする。
$\frac{d}{ds}1^{-s}=0,~~\frac{d}{ds}n^{-s}=-n^{-s}\log n$
だから
$\exp(-L'(0))=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(7k+2)(7k+4)(7k+8)}{(7k+3)(7k+5)(7k+6)}\\=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2/7)(k+4/7)(k+8/7)}{(k+3/7)(k+5/7)(k+6/7)}$
2+4+8=3+5+6 だから、
↓この記事の式より、
ガンマ関数の積の比の無限積表示・多変数ベータによる表示 - 数学大好き宣言！
$\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2/7)(k+4/7)(k+8/7)}{(k+3/7)(k+5/7)(k+6/7)} \\=\dfrac{\Gamma(2/7)\Gamma(4/7)\Gamma(8/7)}{\Gamma(3/7)\Gamma(5/7)\Gamma(6/7)}$
これも代数的数になるだろうか。