(2/22~)メモ(定理や事実と資料まとめ)

・ルジャンドル記号のガウス和 Σ(a/p)exp(2πia/p) (ただし(a/p)はルジャンドル記号で、和はa=1からpまでとする)は、p番目の円分多項式＝0という方程式の、二次のラグランジュリゾルベントである。実際にガロア群を作用させてexp(2πia/p)をexp(2πiab/p) (b乗)に置き換えると、bが平方剰余なら(平方剰余な元全体のなす部分群に属するなら)ガウス和は不変で、そうでないなら-1倍される。よってガウス和の値はある有理数の単純な平方根になることが分かる。もっと別のディリクレ指標でも同様。
・新谷卓郎「代数体のL函数の特殊値について」https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/3/29_3_204/_pdf新谷の研究のひとつに、類体論で重要な類体の構成問題の「スターク予想」からのアプローチがある。それについての文章。
・連分数は、超幾何関数とも関係するらしい。それを用いて、適切にパラメータをとれば、πやeの綺麗な連分数表示が得られるようだ。詳しくはこちら→ガウスの連分数 - Wikipedia。大量の非自明な等式が得られる様は圧巻。
・代数方程式の解の差積を調べると、ガロア理論よりガロア群が少し分かる。差積が方程式の分解体の元なのは当然だが、それは有理数の平方根でもある。なぜなら差積の二乗(判別式)はすべての置換で不変だからだ。x^3-2=0の解の差積を調べてみよう。判別式は-108だから、差積は±6√-3。よってx^3-2=0の分解体には√-3が含まれることが分かるが、これはx^3-2=0の分解体体がℚ(2^(1/3),ω)であることからもわかる。おもしろい。
・x^17-1=0の解法を追うだけなら高校生にも可能だが、なぜうまくいくかを理解するにはガロア理論が必要。この事情は他の方程式でも同様(カルダノの解法など)。そこがおもしろい。