楕円積分とガンマ関数について調べたことまとめ

・ $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} = \int_1^{\infty} \frac{dy}{\sqrt{4y^3-4y}}$ らしい。y=1/x^2, x^2=1/y の変数変換で移りあうようだ。
・ベータ関数の公式より、一般のフェルマー曲線の周期をΓ関数で表すことができる。
・K'/Kが√rになるときの楕円積分はガンマ関数で表せることを、chowlaとselbergが示した。例：
r=1のとき　 $K=\displaystyle\frac{(\Gamma(1/4))^2}{4\sqrt{\pi}}$
r=5のとき　 $K=\displaystyle\sqrt[4]{2+\sqrt{5}} \sqrt{\frac{\Gamma(1/20)\Gamma(3/20)\Gamma(7/20)\Gamma(9/20)}{160\pi}}$
・実は、chowlaとselbergはもっと一般の場合に、もっと具体的な表示まで求めている：dを負の整数で、 d≡0,1(mod 4) で、dかd/4は平方因子をもたないものとする。 h=h(d)を判別式dの虚二次体の類数, wをその整数環の単数の個数とする。iK'/KがQ(√d)の元であるとき、(a/b)をクロネッカー記号, λをある代数的数として
$K=\displaystyle \lambda \sqrt{\pi} \left( \prod_{m=1}^{|d|}\Gamma \left(\frac{m}{|d|} \right)^{(d/m)} \right)^{w/4h}$
が成り立つ。
・上の特殊ケースとして、K'/K=√p (pは素数), h(-p)=1のとき、
$2K/\pi = \displaystyle \frac{\sqrt[3]{2}}{(k \sqrt{1-k^2})^{1/6} \sqrt{2\pi p}} \left( \frac{\prod\Gamma (\alpha/p)}{\prod \Gamma (\beta/p) } \right)^{w/4}$
ただしwは、p=3のときw=6, p>3のときw=2で, αは0からp-1までの (p-1)/2 個の法pの平方剰余を渡り, βは残る(p-1)/2 個の0から p-1 までの数を渡る。
・これらの結果はEpsteinのゼータ関数というものを研究して得られるらしい。
・具体的に求めてみよう。d=-20とすると、h=2, w=2. クロネッカー記号を計算しておこう。(-20/1)=1, (-20/2)=0, (-20/3)=1, (-20/5)=0, (-20/7)=1, (-20/11)=-1, (-20/13)=1, (-20/17)=1, (-20/19)=-1だから、(-20/2n)=0, (-20/9)=1, (-20/15)=0. よって、iK'/KがQ(√d)の元であるとき、
$K=\lambda\sqrt{\pi}\left( \frac{\Gamma(1/20)\Gamma(3/20)\Gamma(7/20)\Gamma(9/20)\Gamma(13/20)\Gamma(17/20)}{\Gamma(11/20)\Gamma(19/20)} \right)^{1/4}$
このあとどう変形するかわからない。
・これは虚数乗法をもつアーベル多様体に一般化されるようだ：CiNii 論文 - 絶対CM周期について

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

楕円積分とガンマ関数について調べたことまとめ